\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{n!}=0}\)
Mam to udowodnić.Jak to zrobić formalnie?Czy mogę użyć wzoru przybliżonego Stirlinga?
Granica ilorazu funkcji wykładniczej i silnii
-
- Użytkownik
- Posty: 2278
- Rejestracja: 11 kwie 2007, o 18:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 602 razy
Granica ilorazu funkcji wykładniczej i silnii
nie wiem, czy mozna, ale napewno sie nie opłaca ;P
\(\displaystyle{ \frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^n}{n!}}=\frac{2\cdot 2^n}{n!(n+1)}\cdot \frac{n!}{2^n}=\frac{2}{n+1}\to 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^n}{n!}}=\frac{2\cdot 2^n}{n!(n+1)}\cdot \frac{n!}{2^n}=\frac{2}{n+1}\to 0}\)
- LecHu :)
- Użytkownik
- Posty: 953
- Rejestracja: 23 gru 2005, o 23:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BFGD
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 162 razy
Granica ilorazu funkcji wykładniczej i silnii
Możesz mi to jakoś bardziej łopatologicznie wytłumaczyć, bo z tego co ja widzę, napisałaś coś, co nie jest równoważne z \(\displaystyle{ \frac{2^{n}}{n!}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2278
- Rejestracja: 11 kwie 2007, o 18:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 602 razy
Granica ilorazu funkcji wykładniczej i silnii
no nie... ja badam po prostu wartość ilorazu \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}}\) a to jest jedna z metod, wyznaczania granicy (zerowej), bo to pokazuje, ze mianownik "szybciej zmierza" do nieskończonosci niż licznik
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Granica ilorazu funkcji wykładniczej i silnii
To jest chyba wniosek z kryterium d'Alemberta. Bo jeśli szereg \(\displaystyle{ \sum a_n}\) jest zbieżny, co przed chwilą udowodniłaś, to \(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } a_n = 0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2278
- Rejestracja: 11 kwie 2007, o 18:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 602 razy
Granica ilorazu funkcji wykładniczej i silnii
no dokładnie choć nie kazdy w wieku 18 lat juz słyszał o szeregach, więc wolałam tego uzasadnienia nie podawac, natomiast tą metode poznałam już w liceum, wiec chyba mozna jej użyc
- przemk20
- Użytkownik
- Posty: 1094
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olesno
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 236 razy
Granica ilorazu funkcji wykładniczej i silnii
a mozn tak, jest rzecza oczywista ze dla pewnego
\(\displaystyle{ n \geq n_0 \\
(n-1)! >2^n}\)
widzimy ze
\(\displaystyle{ 5! > 2^6}\)
czyli
\(\displaystyle{ (n-1)! = (n-1)(n-2)...6 \cdot 5! > 2^{n-6} \cdot 5! > 2^{n}}\)
czyli
\(\displaystyle{ 0< \frac{2^n}{n!} = \frac{1}{n} \frac{2^n}{(n-1)!} < \frac{1}{n} \to 0}\)
\(\displaystyle{ n \geq n_0 \\
(n-1)! >2^n}\)
widzimy ze
\(\displaystyle{ 5! > 2^6}\)
czyli
\(\displaystyle{ (n-1)! = (n-1)(n-2)...6 \cdot 5! > 2^{n-6} \cdot 5! > 2^{n}}\)
czyli
\(\displaystyle{ 0< \frac{2^n}{n!} = \frac{1}{n} \frac{2^n}{(n-1)!} < \frac{1}{n} \to 0}\)