Strona 1 z 1
Granica ilorazu funkcji wykładniczej i silnii
: 17 mar 2008, o 21:00
autor: LecHu :)
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{n!}=0}\)
Mam to udowodnić.Jak to zrobić formalnie?Czy mogę użyć wzoru przybliżonego Stirlinga?
Granica ilorazu funkcji wykładniczej i silnii
: 17 mar 2008, o 21:44
autor: natkoza
nie wiem, czy mozna, ale napewno sie nie opłaca ;P
\(\displaystyle{ \frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^n}{n!}}=\frac{2\cdot 2^n}{n!(n+1)}\cdot \frac{n!}{2^n}=\frac{2}{n+1}\to 0}\)
Granica ilorazu funkcji wykładniczej i silnii
: 17 mar 2008, o 22:20
autor: LecHu :)
Możesz mi to jakoś bardziej łopatologicznie wytłumaczyć, bo z tego co ja widzę, napisałaś coś, co nie jest równoważne z \(\displaystyle{ \frac{2^{n}}{n!}}\)
Granica ilorazu funkcji wykładniczej i silnii
: 17 mar 2008, o 22:32
autor: natkoza
no nie... ja badam po prostu wartość ilorazu \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}}\) a to jest jedna z metod, wyznaczania granicy (zerowej), bo to pokazuje, ze mianownik "szybciej zmierza" do nieskończonosci niż licznik
Granica ilorazu funkcji wykładniczej i silnii
: 17 mar 2008, o 22:39
autor: Wasilewski
To jest chyba wniosek z kryterium d'Alemberta. Bo jeśli szereg \(\displaystyle{ \sum a_n}\) jest zbieżny, co przed chwilą udowodniłaś, to \(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } a_n = 0}\)
Granica ilorazu funkcji wykładniczej i silnii
: 17 mar 2008, o 22:43
autor: natkoza
no dokładnie choć nie kazdy w wieku 18 lat juz słyszał o szeregach, więc wolałam tego uzasadnienia nie podawac, natomiast tą metode poznałam już w liceum, wiec chyba mozna jej użyc
Granica ilorazu funkcji wykładniczej i silnii
: 17 mar 2008, o 22:48
autor: przemk20
a mozn tak, jest rzecza oczywista ze dla pewnego
\(\displaystyle{ n \geq n_0 \\
(n-1)! >2^n}\)
widzimy ze
\(\displaystyle{ 5! > 2^6}\)
czyli
\(\displaystyle{ (n-1)! = (n-1)(n-2)...6 \cdot 5! > 2^{n-6} \cdot 5! > 2^{n}}\)
czyli
\(\displaystyle{ 0< \frac{2^n}{n!} = \frac{1}{n} \frac{2^n}{(n-1)!} < \frac{1}{n} \to 0}\)