Wyprowadzenie podstawowych wzorów dotyczących ciągów.

[Aga ;)]

Potrzebuję wyprowadzenie wzorów na obliczenie n-tego wyracu ciągu arytmet. i geometr. oraz na obliczanie sumy n-wyrazów ciągu aryt. i geometr.

[półpasiec]

obliczanie n-tych wyrazow najlepiej zrobic przez indukcje.
przy sumie wyrazow arytmetycznego wylacz roznice przed nawias i skorzystaj ze wzoru na sume kolejnych liczb, a przy sumie geomatrycznego trza wyciagnac wyraz poczatkowy przed nawias, a pozniej mozna skorzystac ze wzoru skroconego mnozenia:
q^n-1=(q-1)(q^(n-1)+q^(n-2)+...+1)

[Aga ;)]

Dzięki

[Yavien]

wyprowadzenie wzoru na wyraz ogólny to się zgadzam (wg przepisu, że mnożymy przez czy dodajemy jakąś liczbę, indukcyjnie i łatwo wykazać, że w ciagu arytmetycznym an= a1 + (n-1)*r a w geometrycznym an= a1 * r^(n-1), podobnie wykazywałabym wzór na sume wyrazów ciagu geometrycznego, ale

wzór na sume kolejnych liczb

jest, tak naprawdę wzorem na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego. Mój sposób (równiez na zapamietanie wzoru) jest taki:
Sn = a1 + a2 + ... + a(n - 1) + an
można też tę sumę zapisać w odwrotnej kolejności:
Sn = an + a(n - 1) + ... + a2 + a1
oraz zauważyć, że skoro każde dwa kolejne wyrazy różnią się od siebie o tą samą liczbę r, to
a1 + an = (a1 + r) + (an - r) = a2 + a(n - 1) = a3 + a(n - 2) = ...
czyli dodając te dwa "niby inne, odwrócone" równania na Sn stronami mamy n jednakowych czynników, równych (a1 + an), czyli
2Sn = n * (a1 + an),
stąd ogólny wzór na sume wyrazów
Sn = n * (a1 + an)/2

[Arek]

Gdzieś słyszałem, że ta metoda, to jedynie wyprowadzenie, a nie dowód, że trzeba indukcji uzywac, ale to przecież jasne, że to rozumowanie wystarcza... /ach ten Gauss - zrobił to samo jak był eigth/

Pozdrawiam

[Yavien]

toteż Aga prosiła o wyprowadzenie
A na pewno nie można opierac się "znanym" wzorze na sumę kolejnych liczb...

[Arek]

Nie, no ja nic nie mówię, czy ja coś mówię...
Oczywiście - wyprowadzenie to wyprowadzenie...