Granice ciagów z pierwiastkiem n-tego stopnia

[help_me;)]

Oblicz granice ciagów:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{(\frac{2}{3})^n + (\frac{3}{4})^n}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{3n^2 +5n+7}}\)

Z gory dzieki za pomoc.. ))

[Szemek]

z tw. o trzech ciągach
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{(\frac{3}{4})^n} \leq \sqrt[n]{(\frac{2}{3})^n + (\frac{3}{4})^n} \leq \sqrt[n]{2 (\frac{3}{4})^n}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{(\frac{3}{4})^n} = \frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2 (\frac{3}{4})^n} = \frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{(\frac{2}{3})^n + (\frac{3}{4})^n} = \frac{3}{4}}\)


\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3n^2 +5n+7} = 1}\)
n dązy do nieskończoności, a pod pierwiastkiem wykładnik potęgi przy n wynosi tylko 2

[la012]

Witam,
dlaczego nie można zrobić w ten sposób:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{(\frac{2}{3})^n} \leq \sqrt[n]{(\frac{2}{3})^n + (\frac{3}{4})^n} \leq \sqrt[n]{100 \cdot (\frac{2}{3})^n}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{(\frac{2}{3})^n} = \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{100 \cdot (\frac{2}{3})^n} = \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{(\frac{2}{3})^n + (\frac{3}{4})^n} = \frac{2}{3}}\)

Jest to bład, bo nie dla każdego n
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{(\frac{2}{3})^n + (\frac{3}{4})^n} \le \sqrt[n]{100 \cdot (\frac{2}{3})^n}}\)
( np. dla n =20 nierówność idzie w przeciwną stronę).
Moje pytanie: skąd wiedzieć, że tak się stanie, skoro dopiero od któregoś n tak się dzieje. (sprawdziłem to na wykresach).
I co czyni wyrażenie:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{2 \cdot (\frac{3}{4})^n}}\), że nierówność jest spełniona dla każdego n.
Jest jakaś reguła, która mi to może powiedzieć dlaczego powinienem użyć wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt[n]{2 \cdot (\frac{3}{4})^n}}\) zamiast \(\displaystyle{ \sqrt[n]{100 \cdot (\frac{2}{3})^n}}\)
?

[Frey]

Jak sam zauważyłeś nierówność \(\displaystyle{ \sqrt[n]{100\cdot( \frac{2}{3} )^n}}\) nie jest prawdziwa.

Dlaczego szacujemy tak a nie inaczej, trzeba mieć intuicję. Ale to się bierze z innych przekształceń.

\(\displaystyle{ ( \frac{2}{3} )^n \le ( \frac{3}{4} )^n}\) prawda

\(\displaystyle{ ( \frac{2}{3} )^n + ( \frac{3}{4} )^n \le ( \frac{3}{4})^n + ( \frac{3}{4} )^n}\) prawda?

Zatem:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{( \frac{2}{3} )^n + ( \frac{3}{4} )^n} \le \sqrt[n]{( \frac{3}{4} )^n +( \frac{3}{4} )^n}}\) też powinno być prawdziwe

[la012]

Tak czy inaczej "trzeba mieć intuicję" ...

[inusia146]

A w pierwszym przypadku nie można zrobić tak?
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{ \left( \frac{2}{3} \right)^n + \left(\frac{3}{4}\right)^n } = \lim_{ n\to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{3}{4} \right)^n \left[ \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^n}{\left( \frac{3}{4} \right)^n} +1 \right]} = \lim_{ n\to \infty} \sqrt[n]{ \left(\frac{3}{4}\right)^n } \cdot \sqrt[n]{\left(\frac{8}{9}\right)^n +1} = \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4} }\)

[Dasio11]

Można, o ile potrafi się udowodnić, że

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left( \frac{8}{9} \right)^n + 1} = 1}\).

[Jan Kraszewski]

A skąd wiesz, że

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{8}{9}\right)^n +1} = 1\ ? }\)

JK

[inusia146]

Pomyślałam, że \(\displaystyle{ \left( \frac{8}{9} \right)^n}\) dąży do 0 i dlatego, ale teraz już widzę błąd w swoim rozumowaniu, bo to wszystko jest jeszcze pod pierwiastkiem...
Dziękuję.

[Jan Kraszewski]

To nie jest błąd o tyle, że ta granica to istotnie jeden, ale to trzeba uzasadnić - zapewne korzystając z tw. o trzech ciągach...

JK