Suma szeregu kolejnych kwadratów

[Kobcio]

Mam taką rzecz jest sobie szereg postaci \(\displaystyle{ \sum_{x=1}^{n}x^{2}}\), a jego suma to ponoć \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\), indukcyjnie już mi się łatwo udało wykazać, że to prawda, ale trapi mnie taki problem, jak można nieindukcyjnie, "dojść" do tego wzoru, jak się go wyprowadza ? taka ciekawość w sumie jak dacie podpowiedź to sam może dojdę do tego

[Qń]

Jeśli interesują Cię sposoby obliczania różnych sum, to polecam lekturę Matematyki konkretnej, jednej z ciekawszych książek jakie napisano o matematyce. Tam znajdziesz mnóstwo technik sumowania nawet najbardziej kosmicznych rzeczy.

A w tym konkretnym wypadku przyjrzyj się rachunkowi:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^2 = 1 + \sum_{k=2}^{n}k^2 = 1 + \sum_{k=1}^{n-1}(k+1)^2 = \\ =
1 + \sum_{k=1}^{n}(k+1)^2 - (n+1)^2 = \\ = 1 - (n+1)^2 + \sum_{k=1}^{n}(k^2 + 2k +1) = \\ =
1 - (n+1)^2 + \sum_{k=1}^{n}k^2 + \sum_{k=1}^{n}2k + \sum_{k=1}^{n}1 = \\ =
1 - n^2 -2n - 1 + \sum_{k=1}^{n}k^2 + 2 \sum_{k=1}^{n}k + n}\).
Mamy więc:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^2 = - n^2 -n + \sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k}\),
a stąd po zredukowaniu sum kwadratów łatwo możemy obliczyć wzór na \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k}\). To nie jest co prawda to o co nam chodziło, ale mamy za to wskazówkę jak policzyć sumę kwadratów - zapewne wystarczy wykonać podobny rachunek dla \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^3}\), co pozostawiam jako ćwiczenie.

Pozdrawiam.
Qń.

[Kobcio]

No to jest po prostu ładne Dzięki tak w ogóle to, to jest jak widzę szablon rozciągający się też na wyższe potęgi i faktycznie jak się wyjdzie od \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^3}\) to się dostaje wzór na \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^2}\)

[bolo]

Podobny temat był już poruszany:

https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=26462

[Konikov]

W razie jakby ktoś jeszcze szukał dobrego wyprowadzenia, to polecam "Matematykę konkretną" (;