Granica ciągu

[raidmaster]

Witam. Problem z rozkminieniem granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to }(\sqrt[3]{n^{3}+4n^{2}} - n)}\)
Próbowałem mnożyć to przez wyrażenie sprzężone i wychodzi mi:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to }(\frac{\sqrt[3]{(n^{3}+4n^{2})} - n^{2}}{\sqrt[3]{n^{3}+4n^{2}} + n})}\).
Pytanie: Co dalej? (Problem mam z tym pierwiastkiem 3 stopnia i kwadratem pod nim, jak to podzielić i przez co). Prosiłbym o jak najdokładniejsze rozpisanie, aby dało się wywnioskować co i jak. Najlepiej komentarzem słownym co robimy w poszczególnych etapach. Odpowiedź do zadania
\(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\)

[Piotrek89]

\(\displaystyle{ a=\sqrt[3]{n^{3}+4n^{2}}}\)
\(\displaystyle{ b=n}\)

\(\displaystyle{ \frac{(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \sqrt[3]{n^{3}+4n^{2}}-n=\lim_{n\to } \frac{n^{3}+4n^{2}-n^{3}}{(\sqrt[3]{n^{3}+4n^{2}})^{2}+n\sqrt[3]{n^{3}+4n^{2}}+n^{2}}=\lim_{n\to } \frac{4n^{2}}{3n^{2}}=\frac{4}{3}}\)

[raidmaster]

Wszystko pięknie ale nie rozumiem jak przeszedłeś z mianownika tego czegoś
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{n^{3}+4n^{2}-n^{3}}{(\sqrt[3]{n^{3}+4n^{2}})^{2}+n\sqrt[3]{n^{3}+4n^{2}}+n^{2}}}\)
do \(\displaystyle{ 3n^{2}}\)

[Piotrek89]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{n^{3}+4n^{2}-n^{3}}{(\sqrt[3]{n^{3}+4n^{2}})^{2}+n\sqrt[3]{n^{3}+4n^{2}}+n^{2}} =\frac{4n^{2}}{\left( \sqrt[3]{n^{3}(1+\frac{4}{n})}\right)^{2}+n\sqrt[3]{n^{3}(1+\frac{4}{n})}+n^{2}}=\lim_{n\to }\frac{4n^{2}}{n^{2}+n^{2}+n^{2}}=\frac{4}{3}}\)