Szereg geometryczny

[skieraw]

Mam problem z zadaniem:

W kwadrat o boku długości "a" wpisano koło, w które wpisano kwadrat, a w ten kwadrat znów koło itd. Oblicz sumę:
a)obwodów wszystkich kół;
b)pól wszystkich kół;

Proszę o pomoc, z góry dzięki!

[salieri]

Proszę, mała podpowiedź:

W pierwszym kroku, mamy podany bok kwadratu równy - a, więc jeśli wpiszemy w niego koło, to promień takiego koła będzie równy połowie a.

Następnie wpisujemy w to koło kwadrat, którego przekątna będzie równa średnicy koła, czyli a.

Wpisujemy kolejne koło, którego promień będzie równy połowie nowej długości boku ( możesz ją policzyć, ponieważ znasz wartość przekątnej = a )

Wtedy już bez problemu wyznaczysz q i pójdzie z góry

[skieraw]

Dzięki za podpowiedź, aczkolwiek nadal nie wiem jak to rozwiązać i byłbym wdzięczny gdybyś napisał mi rozwiązanie

[salieri]

Dobrze, proszę :

Pierwszy obwód koła to:

\(\displaystyle{ Obw_{1}= \frac {2 \pi * a}{2} = \pi * a}\)

Drugi obwód koła to :

\(\displaystyle{ Obw_{2}= \frac{2 \pi * \sqrt{2} * a}{4} = \frac{\sqrt{2} \pi * a}{2}}\)

Z tego wynika, że:

\(\displaystyle{ |q| = \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

q jest mniejsze od jedynki, więc ciąg jest zbieżny, no to liczymy:


\(\displaystyle{ Obw_{n}= \frac{\pi a}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}= \pi a ( 2 + \sqrt{2} )}\)

Dla pola rozwiązujesz analogicznie, oczywiście ze wzorem na pole a nie na obwód

[skieraw]

Dzięki bardzo! Pole już wcześniej udało mi się policzyć

[matematykajestsuper]

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=b1d2si2XzXA

tutaj rozwiązanie w formie filmiku