granica ciągu rekurencyjnego
-
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 40
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 41 razy
Re: granica ciągu rekurencyjnego
Definicja ciągu nie jest jeszcze kompletna, bo istnieje wiele ciągów ją spełniających. Prawdopodobnie miał być jeszcze warunek \(a_{n+2}>0\).
W takim wypadku jeśli ciąg jest zbieżny, to do niczego innego niż do liczby \(\sqrt{2}\), bo granica \(g\) musi spełniać równość \(g^2=2+g-g\). Skoro podejrzewasz, że ciąg ma granicę równą \(\sqrt2\), to zdefiniujmy \(b_n=a_n-\sqrt{2}\). Następnie możesz spróbować wykazać indukcyjnie, że począwszy od pewnego \(n\) ciąg spełnia taką nierówność:
\(|b_n| < \frac1{\sqrt[4]{2^n}}\)
albo jakąś podobną.
W takim wypadku jeśli ciąg jest zbieżny, to do niczego innego niż do liczby \(\sqrt{2}\), bo granica \(g\) musi spełniać równość \(g^2=2+g-g\). Skoro podejrzewasz, że ciąg ma granicę równą \(\sqrt2\), to zdefiniujmy \(b_n=a_n-\sqrt{2}\). Następnie możesz spróbować wykazać indukcyjnie, że począwszy od pewnego \(n\) ciąg spełnia taką nierówność:
\(|b_n| < \frac1{\sqrt[4]{2^n}}\)
albo jakąś podobną.