granica ciągu rekurencyjnego

[ann_u]

Wykaż że istnieje granica ciągu zdefiniowanego następująco \(\displaystyle{ a_1= \frac{1}{2} ,a_2=1, (a_{n+2})^2=2+a_n-a_{n+1}.}\)

[3a174ad9764fefcb]

Definicja ciągu nie jest jeszcze kompletna, bo istnieje wiele ciągów ją spełniających. Prawdopodobnie miał być jeszcze warunek \(a_{n+2}>0\).

W takim wypadku jeśli ciąg jest zbieżny, to do niczego innego niż do liczby \(\sqrt{2}\), bo granica \(g\) musi spełniać równość \(g^2=2+g-g\). Skoro podejrzewasz, że ciąg ma granicę równą \(\sqrt2\), to zdefiniujmy \(b_n=a_n-\sqrt{2}\). Następnie możesz spróbować wykazać indukcyjnie, że począwszy od pewnego \(n\) ciąg spełnia taką nierówność:
\(|b_n| < \frac1{\sqrt[4]{2^n}}\)
albo jakąś podobną.