granica ciągu

[ann_u]

Niech \(\displaystyle{ \left(a_{n}\right)}\) bedzie ciagiem liczb dodatnich takich że
\(\displaystyle{ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(a_{1}+\cdots+a_{n}\right)}{n} < \infty , \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n}=0}\).
Czy z tego wynika ze \(\displaystyle{ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}{n^{2}}=0}\) ?

[Dasio11]

Z pierwszego założenia wynika drugie, bo jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_1+\ldots+a_n}{n} = g}\), to

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_1+\ldots+a_n}{n} - \frac{n-1}{n} \cdot \frac{a_1+\ldots+a_{n-1}}{n-1} = g-g = 0}\).

Dalej: skoro ciąg \(\displaystyle{ \frac{a_1+\ldots+a_n}{n}}\) jest zbieżny, to jest ograniczony z góry przez pewną liczbę \(\displaystyle{ M}\). Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) i weźmy \(\displaystyle{ N_1}\), takie że dla \(\displaystyle{ n > N_1}\) jest \(\displaystyle{ \frac{a_n}{n} \le \varepsilon}\). Weźmy też \(\displaystyle{ N_2 \ge N_1}\), takie że \(\displaystyle{ \frac{a_i}{N_2} \le \varepsilon}\) dla \(\displaystyle{ i = 1, 2, \ldots, N_1}\). Wtedy dla \(\displaystyle{ n \ge N_2}\):

\(\displaystyle{ \frac{a_1^2+\ldots+a_n^2}{n^2} \le \frac{a_1}{N_2} \cdot \frac{a_1}{n} + \ldots + \frac{a_{N_1}}{N_2} \cdot \frac{a_{N_1}}{n} + \frac{a_{N_1+1}}{N_1+1} \cdot \frac{a_{N_1+1}}{n} + \ldots + \frac{a_n}{n} \cdot \frac{a_n}{n} \le \varepsilon \cdot \frac{a_1+\ldots+a_n}{n} \le \varepsilon M,}\)

co pokazuje że \(\displaystyle{ \frac{a_1^2+\ldots+a_n^2}{n^2} \to 0}\).