Granica ilorazu
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 27 lis 2021, o 14:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
Granica ilorazu
mam dwa ciągi określone rekurencyjnie:
\(\displaystyle{ a_{1}=2, a_{n+1}=2a_{n}+3b_{n}, n \in \NN}\)
\(\displaystyle{ b_{1}=1, b_{n+1}=a_{n}+2b_{n}, n \in \NN}\)
jak obliczyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{a _{n} }{b _{n} } }\)?
\(\displaystyle{ a_{1}=2, a_{n+1}=2a_{n}+3b_{n}, n \in \NN}\)
\(\displaystyle{ b_{1}=1, b_{n+1}=a_{n}+2b_{n}, n \in \NN}\)
jak obliczyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{a _{n} }{b _{n} } }\)?
Ostatnio zmieniony 4 lip 2022, o 19:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 27 lis 2021, o 14:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 27 lis 2021, o 14:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Granica ilorazu
Ciąg \(\displaystyle{ x_n = \frac{a_n}{b_n}}\) spełnia rekurencję \(\displaystyle{ x_{n+1} = \frac{2x_n+3}{x_n+2}}\), więc można obliczyć jego granicę standardową metodą: sprawdzić że jest monotoniczny i ograniczony, a potem rozwiązać odpowiednie równanie.
Można też zauważyć, że
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}}\)
i kombinować z wektorami własnymi, ale to chyba więcej roboty.
Można też zauważyć, że
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}}\)
i kombinować z wektorami własnymi, ale to chyba więcej roboty.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Granica ilorazu
Można też skorzystać z Twierdzenia Stolza:
\(\displaystyle{ a_{n+1}- b_{n+1} = a_{n}+b_{n} }\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1} -b_{n}} = -1 = \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}, }\)
wykazując, że
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} b_{n} = +\infty. }\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}- b_{n+1} = a_{n}+b_{n} }\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1} -b_{n}} = -1 = \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}, }\)
wykazując, że
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} b_{n} = +\infty. }\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 22204
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3753 razy
Re: Granica ilorazu
Można też tak:
z `a_{n+1}=2a_n+3b_n` wynika, że `\frac{a_{n+1}}{a_n}=2+3\frac{b_n}{a_n}`
Wystarczy zatem policzymy granicę `\frac{a_{n+1}}{a_n}`
\(\displaystyle{ a_{n+2}=2a_{n+1}+3b_{n+1}\\
=2a_{n+1}+3(a_n+2b_n)\\
=2a_{n+1}+3a_n+2(a_{n+1}-2a_n)\\
=4a_{n+1}-a_n}\)
I stąd już prosto wyliczamy, że `\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=2+\sqrt3`
z `a_{n+1}=2a_n+3b_n` wynika, że `\frac{a_{n+1}}{a_n}=2+3\frac{b_n}{a_n}`
Wystarczy zatem policzymy granicę `\frac{a_{n+1}}{a_n}`
\(\displaystyle{ a_{n+2}=2a_{n+1}+3b_{n+1}\\
=2a_{n+1}+3(a_n+2b_n)\\
=2a_{n+1}+3a_n+2(a_{n+1}-2a_n)\\
=4a_{n+1}-a_n}\)
I stąd już prosto wyliczamy, że `\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=2+\sqrt3`
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 27 lis 2021, o 14:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy