Granica ilorazu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
wojciechfil20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 27 lis 2021, o 14:52
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy

Granica ilorazu

Post autor: wojciechfil20 »

mam dwa ciągi określone rekurencyjnie:
\(\displaystyle{ a_{1}=2, a_{n+1}=2a_{n}+3b_{n}, n \in \NN}\)
\(\displaystyle{ b_{1}=1, b_{n+1}=a_{n}+2b_{n}, n \in \NN}\)
jak obliczyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{a _{n} }{b _{n} } }\)?
Ostatnio zmieniony 4 lip 2022, o 19:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Granica ilorazu

Post autor: janusz47 »

Pokazać, że każdy z ciągów ma granicę, Znaleźć te granice. Obliczyć iloraz granic.
wojciechfil20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 27 lis 2021, o 14:52
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy

Re: Granica ilorazu

Post autor: wojciechfil20 »

ale oba ciągi zbiegają do nieskończoności
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Granica ilorazu

Post autor: janusz47 »

Skąd to wiesz ?
wojciechfil20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 27 lis 2021, o 14:52
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy

Re: Granica ilorazu

Post autor: wojciechfil20 »

bo obydwa są stale rosnące
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Granica ilorazu

Post autor: Dasio11 »

Ciąg \(\displaystyle{ x_n = \frac{a_n}{b_n}}\) spełnia rekurencję \(\displaystyle{ x_{n+1} = \frac{2x_n+3}{x_n+2}}\), więc można obliczyć jego granicę standardową metodą: sprawdzić że jest monotoniczny i ograniczony, a potem rozwiązać odpowiednie równanie.

Można też zauważyć, że

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}}\)

i kombinować z wektorami własnymi, ale to chyba więcej roboty.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Granica ilorazu

Post autor: janusz47 »

Można też skorzystać z Twierdzenia Stolza:

\(\displaystyle{ a_{n+1}- b_{n+1} = a_{n}+b_{n} }\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1} -b_{n}} = -1 = \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}, }\)

wykazując, że

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} b_{n} = +\infty. }\)
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Granica ilorazu

Post autor: Dasio11 »

janusz47 pisze: 4 lip 2022, o 20:53\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1} -b_{n}} = -1 = \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}, }\)
Te granice nie równają się \(\displaystyle{ -1}\).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Granica ilorazu

Post autor: a4karo »

Można też tak:
z `a_{n+1}=2a_n+3b_n` wynika, że `\frac{a_{n+1}}{a_n}=2+3\frac{b_n}{a_n}`
Wystarczy zatem policzymy granicę `\frac{a_{n+1}}{a_n}`

\(\displaystyle{ a_{n+2}=2a_{n+1}+3b_{n+1}\\
=2a_{n+1}+3(a_n+2b_n)\\
=2a_{n+1}+3a_n+2(a_{n+1}-2a_n)\\
=4a_{n+1}-a_n}\)


I stąd już prosto wyliczamy, że `\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=2+\sqrt3`
wojciechfil20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 27 lis 2021, o 14:52
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy

Re: Granica ilorazu

Post autor: wojciechfil20 »

a4karo pisze: 4 lip 2022, o 22:54 \(\displaystyle{ a_{n+2}=2a_{n+1}+3b_{n+1}\\
=2a_{n+1}+3(a_n+2b_n)\\
=2a_{n+1}+3a_n+2(a_{n+1}-2a_n)\\
=4a_{n+1}-a_n}\)


I stąd już prosto wyliczamy, że `\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=2+\sqrt3`
jak?

Dodano po 9 minutach 56 sekundach:
już wiem
ODPOWIEDZ