Oblicz granicę z sumą szeregu

[cmnstrnbnn]

Oblicz granicę z sumą szeregu

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{+} } \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin(x)}{4+(kx)^{4}} }\)

[Janusz Tracz]

Zamiast granicy z \(\displaystyle{ \sin x}\) można liczyć \(\displaystyle{ \displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{+} } \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x}{4+(kx)^{4}} }}\). Poza tym jeśli \(\displaystyle{ f:[0,\infty)\to [0,\infty)}\) jest niemalejąca oraz całkowalna na \(\displaystyle{ [0,\infty)}\) to

\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{\infty}f\left(\frac{k}{n}\right) \:\xrightarrow[ ]{n\to \infty}\: \int_{0}^{ \infty } f(\xi)\, \dd \xi. }\)

Co widać dzięki oszacowaniu

\(\displaystyle{ \int_{1/n}^{ \infty } f(\xi)\, \dd \xi = \sum_{k=0}^{\infty} \int_{(k+1)/n}^{(k+2)/n} f(\xi)\, \dd \xi \le \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \le \sum_{k=0}^{\infty} \int_{k/n}^{(k+1)/n} f(\xi)\, \dd \xi = \int_{0}^{ \infty } f(\xi)\, \dd \xi. }\)

Zatem \(\displaystyle{ \left| \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right) - \int_{0}^{ \infty } f(\xi)\, \dd \xi\right| \le \frac{|f(0)|}{n}. }\) W związku z tym jeśli zamiast \(\displaystyle{ x\to 0^+}\) położylibyśmy \(\displaystyle{ n\to \infty}\) to mamy

\(\displaystyle{ \begin{split}\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4+\left( \frac{k}{n} \right) ^{4}} }& = \int_{0}^{ \infty } \frac{\dd \xi}{4+\xi^4}\\ &= \frac{ \sqrt{2} }{8} \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{\dd \xi}{1+\xi^4} = \frac{\pi}{8}. \end{split} }\)

Przy czym ostatnie całki można policzyć residuami, algebraicznie lub pewnie funkcją \(\displaystyle{ \Gamma}\). Niestety póki co to żadna odpowiedź bo do zera można dążyć na różne sposoby to znaczy sprawdzenie, że granica jest równa \(\displaystyle{ \pi/8}\) na ciągu \(\displaystyle{ 1/n}\) nie gwarantuje, że ta granica w ogóle istnieje w ogólnym przypadku \(\displaystyle{ x\to 0^+.}\) Jo jednak powinno być do naprawienia póki co nie wiem dokładnie jak.


Poza tym można też zauważyć, że

\(\displaystyle{ \begin{split} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x}{4+(kx)^{4}} & = \frac{1}{x^3} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{ \frac{4}{x^4} +k^{4}} \\
&=\Im \frac{1}{x^3} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{ k^{2}-i \frac{2}{x^2} }
\end{split} }\)

Wiadomo (zobacz: Partial Fractions Expansion of Cotangent) jednak, że

\(\displaystyle{ \pi \cot \pi \eta = \dfrac 1 \eta - 2 \eta \sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^2 -\eta^2}}\)

kładąc odpowiednią \(\displaystyle{ \eta}\) (to znaczy taką, że \(\displaystyle{ \eta^2=2i/x^2}\)) powinno udać się wyrazić szereg z treści zadania w terminach \(\displaystyle{ \cot}\) i tego typu funkcji.