Matematyka.pl

Znajdź granicę ciągu określonego wzorem \(\displaystyle{ a_n=(n!)^{1/n}}\).

Udowodnimy, że ciąg ten jest rozbieżny do nieskończoności:
\(\displaystyle{ n!^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{\ln (1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n)}{n}}=e^{\frac{\ln 1+\ln 2+...+\ln n}{n}}=H=e^{\frac{1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}}{1}}=e^{1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}} \rightarrow \infty}\)

nie rozumiem pierwszego znaku równości, nie wiem co to H, nie wiem czemu to ostatnie rośnie nieograniczenie

Pierwszy znak rownosci:
\(\displaystyle{ x=e^{\ln (x)}\ x>0\\}\)

To ze zwyklych logarytmow (tutaj masz podstawe e tylko).

Co do H - twierdzenie delopitala - poczytaj na np wikipedii. POZDRO

\(\displaystyle{ n!=e^{\ln (n!)}=e^{\ln (1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n)}}\)
H oznacza regułę de l'Hospitala
liczymy wtedy pochodną licznika i mianownika (tutaj ograniczamy się w regule de l'Hospitala do wykładnika liczby e)
Ciąg \(\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}}\) jest ciągiem harmonicznym rzędu pierwszego i jako taki jest rozbieżny do nieskończoności

nie da sie tego zrobić tego nie używając tej reguły? nie znam jej jeszcze... Spróbuję zrozumieć, ale nie mogę przedstawić takiego rozwiązania... Wystarczy wskazówka.

Trochę bym się zastanowił nad stosowaniem de l'Hospitala przy funkcji nieciągłej, a więc nieróżniczkowalnej.

Znaczy, żeby była jasność, ja stosuję regułę de l'Hospitala tylko do wykładnika. Mogę tak zrobić, ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}e^{f(x)}=e^{\lim_{x\to \infty} f(x)}}\)

Ustalmy dowolną liczbę naturalną \(\displaystyle{ M}\). Dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n\geqslant 2M+\log_2M^{2M}}\) mamy:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{n!}\geqslant\sqrt[n]{(2M+1)(2M+2)(2M+3)\cdots n}\geqslant\\
\geqslant\sqrt[n]{(2M)^{n-2M}}=\sqrt[n]{M^{n-2M}2^{n-2M}}\geqslant\\
\geqslant\sqrt[n]{M^{n-2M}2^{\log_2M^{2M}}}=\sqrt[n]{M^{n-2M}M^{2M}}
=\sqrt[n]{M^n}=M}\)
Stąd (patrz definicja granicy ciągu) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}=\infty}\)

Pomysły z de l'Hospitalem ze względu na zmienną liczbę składników nie są dobre.

Znaczy, żeby była jasność, ja stosuję regułę de l'Hospitala tylko do wykładnika. Mogę tak zrobić,... tylko, czy robisz dobrze? Bo zamiana ciągu na funkcję ciągłą, tj. "wstawienie" \(\displaystyle{ x}\) za \(\displaystyle{ n}\) nie jest takie hop siup - bo zamiast \(\displaystyle{ n!}\) musisz wstawić funkcję gamma \(\displaystyle{ \Gamma(x+1)}\).
I teraz pytanie: umiesz różniczkować funkcję gamma?

Pozdrawiam

Nie łapię zupełnie o co Ci chodzi. Mogę sobie równie dobrze na boku policzyć:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{\ln 1+\ln 2+...+\ln n}{n}=H=\lim{n\to \infty}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n})=\infty}\), a zatem na mocy granicy, którą właśnie wliczyłem oraz poprzednich przekształceń:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n!}=[e^{\infty}]=\infty}\)
Tutaj uznałem, że po prostu ciąg opisany w zadaniu jest opisany dokładnie tą samą funkcją, którą tutaj napisałem, z tymże po prostu różni się dziedziną \(\displaystyle{ D_{f(x)}=R \ D_{a_{n}}=N}\), a więc ten ciąg ma granicę nieskończoności równą granicy tej funkcji.
Odpowiadając na pytanie, może umiałbym zróżniczkować taką funkcję, jeślibym wiedział co to jest za funkcja. Jeśli mój tok myślenia jest niepoprawny lub nieścisły, to proszę o poprawienie

No to ile będzie \(\displaystyle{ \ln1+\ln2+\cdots+\ln n}\) dla \(\displaystyle{ n=3\frac12}\)?

No, ale napisałem, że dziedziną są liczby naturalne, więc nie rozumiem

polskimisiek, jeżeli dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych, to jak obliczysz granicę ilorazu różnicowego

polskimisiek pisze:Tutaj uznałem, że po prostu ciąg opisany w zadaniu jest opisany dokładnie tą samą funkcją, którą tutaj napisałem, z tymże po prostu różni się dziedziną \(\displaystyle{ D_{f(x)}=R \ D_{a_{n}}=N}\),

Inne argument (pokazujący, że nie można tak różniczkować sum, w których liczba składników nie jest stała):

Policzmy pochodną \(\displaystyle{ x^2}\) (inaczej: \(\displaystyle{ n^2}\)).
\(\displaystyle{ (n^2)'=(n+n+\cdots+n)'=n'+n'+\cdots+n'=1+1+\cdots+1=n}\)
Zatem \(\displaystyle{ (x^2)'=x}\). A co się stało z dwójką?

Policzmy pochodną \(\displaystyle{ x}\) (inaczej: \(\displaystyle{ n}\)).
\(\displaystyle{ n'=(1+1+\cdots+1)'=1'+1'+\cdots+1'=0+0+\cdots+0=0}\)
Zatem \(\displaystyle{ x'=0}\). Hmm.