Granica ciągu z resztą Peano
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 29 sie 2021, o 20:23
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Podziękował: 3 razy
Granica ciągu z resztą Peano
Jak obliczyć taką granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{t^2}{2n}+o\left(\frac{t^2}{n}\right)\right)^n}\).
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{t^2}{2n}+o\left(\frac{t^2}{n}\right)\right)^n}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 29 sie 2021, o 20:23
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Podziękował: 3 razy
Re: Granica ciągu z resztą Peano
Tak, ale dlaczego \(\displaystyle{ o\left(\frac{t^2}{n}\right)}\) znika? Z definicji dostajemy tylko \(\displaystyle{ \lim_{\frac{t}{\sqrt{n}} \to 0 } \frac{o\left(\frac{t^2}{n}\right)}{\frac{t^2}{n}}=0}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Granica ciągu z resztą Peano
I tyle wystarczy, bo zobacz, że tam pod limesem możesz napisać po prostu \(\displaystyle{ n \to \infty}\), czyli to, co cię interesuje, prawda?
I jak liczysz tę granicę tak "standardowo", to w pewnym momencie powinieneś natrafić na wyrażenie postaci \(\displaystyle{ n \cdot o\left( \frac{t^2}{n} \right) }\), czyli \(\displaystyle{ \frac{o\left( \frac{t^2}{n} \right)}{\frac{t^2}{n}} t^2 }\), co dąży do \(\displaystyle{ 0}\), jak \(\displaystyle{ n \to \infty}\).
Jeśli nie wiesz, o co mi chodzi, to pokaż jak liczysz i w którym momencie się zacinasz.
I jak liczysz tę granicę tak "standardowo", to w pewnym momencie powinieneś natrafić na wyrażenie postaci \(\displaystyle{ n \cdot o\left( \frac{t^2}{n} \right) }\), czyli \(\displaystyle{ \frac{o\left( \frac{t^2}{n} \right)}{\frac{t^2}{n}} t^2 }\), co dąży do \(\displaystyle{ 0}\), jak \(\displaystyle{ n \to \infty}\).
Jeśli nie wiesz, o co mi chodzi, to pokaż jak liczysz i w którym momencie się zacinasz.
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 29 sie 2021, o 20:23
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Podziękował: 3 razy
Re: Granica ciągu z resztą Peano
Okej, niby rozumiem to co napisałeś, ale nadal coś jest nie tak. Standardowe? podejście:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{t^2}{2n}+o\left(\frac{t^2}{n}\right)\right)^n=
\lim_{n \to \infty} e^{n\mbox{ln}\left(1-\frac{t^2}{2n}+o\left(\frac{t^2}{n}\right)\right)}=
\lim_{n \to \infty} e^{\frac{\mbox{ln}\left(1-\frac{t^2}{2n}+o\left(\frac{t^2}{n}\right)\right)}{\frac{1}{n}}}
}\)
Z arytmetyki granic, liczymy granicę z wykładnika. Dalej, z ciągłości logarytmu naturalnego i z arytmetyki granic, dostajemy granicę nieoznaczoną typu \(\displaystyle{ 0/0}\), dlatego możemy skorzystać z reguły l’Hospitala. Tu się zatrzymuję, bo obliczenie pochodnej z \(\displaystyle{ o\left(\frac{t^2}{n}\right)}\) okazuje się co najmniej problematyczne.
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{t^2}{2n}+o\left(\frac{t^2}{n}\right)\right)^n=
\lim_{n \to \infty} e^{n\mbox{ln}\left(1-\frac{t^2}{2n}+o\left(\frac{t^2}{n}\right)\right)}=
\lim_{n \to \infty} e^{\frac{\mbox{ln}\left(1-\frac{t^2}{2n}+o\left(\frac{t^2}{n}\right)\right)}{\frac{1}{n}}}
}\)
Z arytmetyki granic, liczymy granicę z wykładnika. Dalej, z ciągłości logarytmu naturalnego i z arytmetyki granic, dostajemy granicę nieoznaczoną typu \(\displaystyle{ 0/0}\), dlatego możemy skorzystać z reguły l’Hospitala. Tu się zatrzymuję, bo obliczenie pochodnej z \(\displaystyle{ o\left(\frac{t^2}{n}\right)}\) okazuje się co najmniej problematyczne.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Re: Granica ciągu z resztą Peano
Standardowe podejście jest takie:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{t^2}{2n} + o \left( \frac{t^2}{n} \right) \right)^n = \lim_{n \to \infty} \left[ \left( 1 - \frac{t^2}{2n} + o \left( \frac{t^2}{n} \right) \right)^{\frac{1}{-\frac{t^2}{2n} + o \left( \frac{t^2}{n} \right)}} \right]^{n \cdot \left( -\frac{t^2}{2n} + o \left( \frac{t^2}{n} \right) \right)}}\)
Wyrażenie w nawiasach prostokątnych dąży do \(\displaystyle{ e}\), a wykładnik:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} n \cdot \left( -\frac{t^2}{2n} + o \left( \frac{t^2}{n} \right) \right) = -\frac{t^2}{2} + \lim_{n \to \infty} n \cdot o \left( \frac{t^2}{n} \right) = \ldots}\)
Teraz możesz skorzystać z rady Tmkk.
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{t^2}{2n} + o \left( \frac{t^2}{n} \right) \right)^n = \lim_{n \to \infty} \left[ \left( 1 - \frac{t^2}{2n} + o \left( \frac{t^2}{n} \right) \right)^{\frac{1}{-\frac{t^2}{2n} + o \left( \frac{t^2}{n} \right)}} \right]^{n \cdot \left( -\frac{t^2}{2n} + o \left( \frac{t^2}{n} \right) \right)}}\)
Wyrażenie w nawiasach prostokątnych dąży do \(\displaystyle{ e}\), a wykładnik:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} n \cdot \left( -\frac{t^2}{2n} + o \left( \frac{t^2}{n} \right) \right) = -\frac{t^2}{2} + \lim_{n \to \infty} n \cdot o \left( \frac{t^2}{n} \right) = \ldots}\)
Teraz możesz skorzystać z rady Tmkk.
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Granica ciągu z resztą Peano
Możesz też kontynuować swoje podejście i użyć faktu, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln{(1 + a_n)}}{a_n} = 1 }\), jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} a_n = 0}\).
Ogólnie tu masz do czynienia z ciągiem, więc decydując się na użycie de l'hospitala, trzeba by napisać ze dwie linijki wyjaśnienia. Ale nadal jest problem, bo tak jak piszesz, ciężko zróżniczkować \(\displaystyle{ o(...)}\). Można oszacować rząd tego czegoś po zróżniczkowaniu, ale lepszym pytaniem jest - czy to jest w ogóle różniczkowalne.
Ogólnie tu masz do czynienia z ciągiem, więc decydując się na użycie de l'hospitala, trzeba by napisać ze dwie linijki wyjaśnienia. Ale nadal jest problem, bo tak jak piszesz, ciężko zróżniczkować \(\displaystyle{ o(...)}\). Można oszacować rząd tego czegoś po zróżniczkowaniu, ale lepszym pytaniem jest - czy to jest w ogóle różniczkowalne.
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Granica ciągu z resztą Peano
To może jeszcze inna propozycja:
\(\displaystyle{ M(n)=o(t^2/n)}\) oznacza, że dla każdego `\varepsilon>0` i odpowiednio dużych `n` zachodzi `-\varepsilon/n<M(n)<\varepsilon/n`.
Stąd
\(\displaystyle{ \left( 1 - \frac{t^2}{2n} -\frac{\varepsilon}{n} \right)^n< \left( 1 - \frac{t^2}{2n} + o \left( \frac{t^2}{n} \right) \right)^n<\left( 1 - \frac{t^2}{2n} +\frac{\varepsilon}{n} \right)^n}\)
teraz przejdż do granicy z `n`. Środkowe wyrażenie a priori granicy mieć nie musi, ale jego granica górna i dolna leży między ....
A ponieważ `\varepsilon` było dowolnie małe, to...
\(\displaystyle{ M(n)=o(t^2/n)}\) oznacza, że dla każdego `\varepsilon>0` i odpowiednio dużych `n` zachodzi `-\varepsilon/n<M(n)<\varepsilon/n`.
Stąd
\(\displaystyle{ \left( 1 - \frac{t^2}{2n} -\frac{\varepsilon}{n} \right)^n< \left( 1 - \frac{t^2}{2n} + o \left( \frac{t^2}{n} \right) \right)^n<\left( 1 - \frac{t^2}{2n} +\frac{\varepsilon}{n} \right)^n}\)
teraz przejdż do granicy z `n`. Środkowe wyrażenie a priori granicy mieć nie musi, ale jego granica górna i dolna leży między ....
A ponieważ `\varepsilon` było dowolnie małe, to...