Pewien ciąg

[arek1357]

Oblicz granicę czegoś takiego:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \left( 1+ \frac{a_{n}}{n+ \frac{1}{2}K_{n} } \right)^n }\)

Gdzie:

\(\displaystyle{ a_{n}}\) - ciąg dodatni, rosnący, ograniczony:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} a_{n}=g< \infty }\)

\(\displaystyle{ K_{n}= \sum_{i=2}^{n} \left\{ \ln \frac{2i}{2i-1} \cdot \ln\left[ 2i(2i-1)\right]\right\} }\)

[timon92]

\(e^g\)

[arek1357]

A jak to wykażesz?

[timon92]

chcę skorzystać z faktu, że jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} x_ny_n=a}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} (1+x_n)^{y_n} = e^a}\)

czyli wystarczy sprawdzić, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} n\cdot\frac{a_n}{n+\frac12 K_n} = g}\)

w tym celu wystarczy sprawdzić, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{K_n}{n}=0}\)

ze Stolza wystarczy sprawdzić, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{K_{n+1}-K_n}{(n+1)-n}=0}\)

\(\frac{K_{n+1}-K_n}{(n+1)-n} = \left(\ln \frac{2n+2}{2n+1}\right) \cdot \ln((2n+2)(2n+1)) = (\ln(2n+2)-\ln(2n+1))(\ln(2n+2)+\ln(2n+1)) = (\ln(2n+2))^2 - (\ln(2n+1))^2\) no i z tej postaci już widać wyraźnie, że to do zera zbiega