Taki pomysł:
niech \(\displaystyle{ x\ge 1}\). Ciąg \(\displaystyle{ a_n=\left(1+\frac{\ln x}{x}\right)^n}\) jest niemalejący (dla \(\displaystyle{ x>1}\) nawet rosnący) i zbieżny do \(\displaystyle{ e^{\ln x}=x}\). Ponadto ciąg \(\displaystyle{ b_n=\left(1+\frac{\ln x}{n}\right)^{n+1}}\) jerst nierosnący (dla \(\displaystyle{ x>1}\) nawet malejący) i również zbieżny do \(\displaystyle{ x}\). Mamy zatem: \(\displaystyle{ \left(1+\frac{\ln x}{n}\right)^n\le x\le\left(1+\frac{\ln x}{n}\right)^{n+1}\\ 1+\frac{\ln x}{n}\le \sqrt[n]{x}\le \left(1+\frac{\ln x}{n}\right)^{1+\frac1 n}}\).
Teraz przydałoby się jakoś sensownie ograniczyć \(\displaystyle{ \left(1+\frac{\ln x}{n}\right)^{\frac{1}{n}}}\), na przykład tak: \(\displaystyle{ \left(1+\frac{\ln x}{n}\right)^{\frac{1}{n}}\le \frac{n+\frac{\ln x}{n}}{n}}\) z nierówności między średnimi dla \(\displaystyle{ n-1}\) jedynek i jednej zmiennej równej \(\displaystyle{ 1+\frac{\ln x}{n}}\).
Czyli otrzymujemy \(\displaystyle{ 1+\frac{\ln x}{n}\le \sqrt[n]{x}\le 1+\frac{\ln x}{n}+\frac{\ln x}{n^2}\left(1+\frac{\ln x}{n}\right)}\), a dalej \(\displaystyle{ \sum_{x=1}^{2022}\left(1+\frac{\ln x}{n}\right)\le \sum_{x=1}^{2022}\sqrt[n]{x}\le \sum_{x=1}^{2022}\left(1+\frac{\ln x}{n}\right)+\sum_{x=1}^{2022}\frac{\ln x}{n^2}\left(1+\frac{\ln x}{n}\right)}\).
Stąd (sorki, nie chce mi się babrać w szczegółach czysto technicznych) już każdy głupi wywnioskuje, że szukaną granicą jest \(\displaystyle{ \exp\left(\sum_{x=1}^{2022}\ln x\right)=2022!}\).
Z grubsza chodzi o to, że szukamy szacowania \(\displaystyle{ \sum_{x=1}^{2022}\left(1+\frac{\ln x}{n}\right)\le \sum_{x=1}^{2022} \sqrt[n]{x}\le \sum_{x=1}^{2022}\left(1+\frac{\ln x}{n}\right)+\frac{C}{n^2}}\) dla pewnej stałej dodatniej \(\displaystyle{ C}\) (tamtą resztową sumę to już bardzo łatwo można sobie oszacować, zastępując każdy wyraz największym z tej sumy i to starcza).
No i ten cały koszmar pod zewnętrznym wykładnikiem dąży do \(\displaystyle{ e}\), a zewnętrzny wykładnik to suma rzeczy postaci \(\displaystyle{ \frac{\sqrt[n]{k}-1}{\frac{1}{n}}}\), dla \(\displaystyle{ k=1,2,\ldots ,2022}\), które dążą do \(\displaystyle{ \ln{k}}\) i wychodzi wynika jak u @Premislava.
Stary dobry de l'Hospital też załatwia sprawę (tylko trzeba liczyć granicę logarytmu)
Dodano po 31 minutach 51 sekundach:
Nie potrzeba az takich wykładników
Prosta `y=x` jest styczna do `\ln(1+x)` w zerze, więc dla `a<1` i dostatecznie małych dodatnich `x` zachodzi
$$ax\le \ln(1+x)\le x$$
Zatem
$$a\left(\frac{\sqrt[n]{1}-1}{n}+\dots+\frac{\sqrt[n]{2022}-1}{n}\right)\le \frac{\ln\left(1+(\sqrt[n]{1}-1)+\dots+(\sqrt[n]{2022}-1)\right)}{n}\le\left(\frac{\sqrt[n]{1}-1}{n}+\dots+\frac{\sqrt[n]{2022}-1}{n}\right)$$