Limes

[mol_ksiazkowy]

Czy istnieje \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty } \frac{2 \sqrt{3}... \sqrt[n-1]{n} }{n} }\) ?

[Tmkk]

Wydaje mi się, że ta granica jest równa \(\displaystyle{ +\infty}\).

Dwójkę zostawiamy w spokoju, a pozostałe wyrazy szacujemy \(\displaystyle{ k^{\frac{1}{k-1}} \ge 3^{\frac{1}{k-1}}}\) dla \(\displaystyle{ k = 3,4,\ldots n}\), czyli

\(\displaystyle{ 2\sqrt{3}\ldots \sqrt[n-1]{n} \ge 2\cdot 3^{ \frac{1}{2} + \ldots +\frac{1}{n-1}} = \frac{2}{3^{1+1/n}} \cdot 3^{1 + \frac{1}{2} + \ldots +\frac{1}{n}} = \frac{2}{3^{1+1/n}} \cdot 3^{1 + \frac{1}{2} + \ldots +\frac{1}{n} - \ln{n}}\cdot 3^{\ln{n}}}\)

Pierwszy składnik iloczynu dąży do \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\), a drugi dąży do \(\displaystyle{ 3^{\gamma}}\) (to ta stała Eulera). Trzeci składnik to \(\displaystyle{ n^{\ln{3}}}\), czyli w wykładniku jest coś więcej niż \(\displaystyle{ 1}\) więc to zbija \(\displaystyle{ n}\) przez które dzielimy i wychodzi \(\displaystyle{ +\infty}\).

Ale może coś oszukuję.

[Premislav]

Skoro jest stała Eulera, to niech do kompletu jeszcze będzie liczba Eulera.
Dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ k\in \NN}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \sqrt[k-1]{k}\ge \left(\frac{k}{k-1}\right)^2}\), gdyż równoważnie mamy
\(\displaystyle{ k\ge \left(1+\frac{1}{k-1}\right)^{2k-2}}\), LHS ma granicę \(\displaystyle{ +\infty}\), a RHS dąży do \(\displaystyle{ e^2}\).
Niech \(\displaystyle{ k_0}\) będzie najmniejszym takim \(\displaystyle{ k\in \NN}\), że poczynając odeń, powyższa nierówność jest już stale spełniona. Mamy wówczas
dla \(\displaystyle{ n>k_0, \ 2\sqrt{3}\dots \sqrt[n-1]{n}\ge 2\sqrt{3}\ldots \sqrt[k_0-2]{k_0-1}\cdot \frac{n^2}{(k_0-1)^2}}\), czyli dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) i stałej dodatniej \(\displaystyle{ C=\frac{2\sqrt{3}\ldots \sqrt[k_0-2]{k_0-1}}{(k_0-1)^2}}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{2\sqrt{3}\dots \sqrt[k-1]{k}}{n}\ge C n}\), stąd granica tego ostatniego wyrażenia wynosi \(\displaystyle{ +\infty}\).


BTW "Składnik iloczynu". \(\displaystyle{ \heartsuit}\) To jest czynnik, panie majstrze.