Silnia

[a4karo]

W wątku Dla jakich liczb naturalnych prawdziwa jest nierówność: pytano dla jakich `n` zachodzi nierówność \(\displaystyle{ n!\leq \left(\frac n2\right)^n}\).

Tu proszę pokazać, że dla wszystkich `n\ge 1` zachodzi \(\displaystyle{ n!\ge n^{\frac n2}}\).

[Niepokonana]

Jeżeli Ty nie umiesz, to bardzo mało osób z forum umie. Ale niech będzie, poćwiczę sobie nieudolnie indukcję.
Teza indukcyjna: \(\displaystyle{ W(n)=n!- n^{ \frac{n}{2} } \ge 0}\)
\(\displaystyle{ W(1)=1!- \sqrt{1}=0 }\), co się zgadza z naszą tezą.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ W(n)}\) zachodzi. Pokażemy, że w takim razie \(\displaystyle{ W(n+1)}\) też zachodzi. No i dalej nie umiem. Umiem zapisać \(\displaystyle{ W(n+1)}\), ale jak je zapisać w zależności od \(\displaystyle{ W(n)}\)?

Dodano po 40 sekundach:
Ewentualnie bez indukcji można by zrobić tak, że prawa strona to połowa czynników mnożenia lewej strony, ale tego też nie umiem.

[Jan Kraszewski]

Jeżeli Ty nie umiesz, to bardzo mało osób z forum umie.

Ja myślę, że a4karo umie, ale lubi zadawać zagadki.

JK

[Tmkk]

Precyzując to, co Niepokonana zasugerowała, jest nierówność \(\displaystyle{ k(n-k+1) \ge n}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,\ldots ,n}\) bo to jest równoważne \(\displaystyle{ (n-k)(k-1) \ge 0}\). Wystarczy wymnożyć stronami wszystkie takie nierówności i po lewej stronie pojawi się \(\displaystyle{ (n!)^2}\) a po prawej \(\displaystyle{ n^n}\). Pozostaje spierwiastkować.