Granica z podstawieniem e

[Mikaelow]

Witam natrafiłem ostatnio na granice:
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } (1+e^x) ^{( \frac{1}{x} )} }\)
Chciałem je rozwiązać w ten sposób ale wynik jest błędny
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } (1+e^x) ^{( \frac{1}{x} )}=
\lim_{ x \to \infty } ((1+e^x) ^{ \frac{1}{e^x} } ) ^{ \frac{ \frac{1}{x} }{ \frac{1}{e^x} } } =(*) \lim_{ x \to \infty } \frac{ \frac{1}{x} }{ \frac{1}{e^x} } =\lim_{ x \to \infty } \frac{e^x}{x} }\) Z Hospitala \(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } e^x (*) \lim_{ x \to \infty } e^{e ^{x} } = \infty }\)
I stąd moje pytanie czy jest jakaś własność którą tu przeoczyłem etc. ? Z góry dzięki.

[Premislav]

Otrzymujesz w ten sposób symbol nieoznaczony typu \(\displaystyle{ \left[1^{\infty}\right]}\), gdyż
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}\left(1+e^x\right)^{\frac{1}{e^x}}=1}\).

Ja bym zastosował twierdzenie o trzech funkcjach i szacowanie
\(\displaystyle{ \left(e^x\right)^{\frac{1}{x}}\le \left(1+e^x\right)^{\frac 1 x}\le \left(e^x+e^x\right)^{\frac{1}{x}}, \ x>0}\).