Granica ciagu

[ewap]

Dzien dobry,

Mam problem ze zrozumieniem ostatniego etapu rozwiazania tej granicy funkcji:

\(\displaystyle{ \lim _{x\to\frac { \pi }{6}} \frac{\sin x-\frac{1}{2}}{x-\frac{ \pi }{6}}=}\)

\(\displaystyle{ =\lim _{x\to\frac { \pi }{6}} \frac{\sin x-{\sin {\frac{ \pi }{6}}}}{x-\frac{ \pi }{6}}=}\)

\(\displaystyle{ =\lim _{x\to\frac { \pi }{6}} \frac{2 \cdot \sin \frac{x-\frac{ \pi }{6}}{2} \cdot \cos{\frac{x+\frac{ \pi }{6}}{2}}}{x-\frac{ \pi }{6}}=}\)

\(\displaystyle{ =\lim _{x\to\frac { \pi }{6}} \frac {\sin (\frac{x}{2} - \frac{ \pi }{12}) \cdot \cos ({\frac{x}{2}+\frac{ \pi }{12}})}{\frac{x}{2}- \frac{ \pi }{12}}=}\)

\(\displaystyle{ =\lim _{x\to\frac { \pi }{6}} \cos (\frac{x}{2}+\frac{ \pi }{12})=}\)

I tutaj dalej w rozwiazaniu jest zamiana na sinus, ktorej nie rozumiem:

\(\displaystyle{ =\lim _{x\to\frac { \pi }{6}} - \sin (\frac{ \pi }{6}+\frac{ \pi }{6})}\)

Bylabym wdzieczna za naprowadzenie.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ =\lim _{x\to\frac { \pi }{6}} \cos (\frac{x}{2}+\frac{ \pi }{12})=}\)

I tutaj dalej w rozwiazaniu jest zamiana na sinus, ktorej nie rozumiem:

\(\displaystyle{ =\lim _{x\to\frac { \pi }{6}} - \sin (\frac{ \pi }{6}+\frac{ \pi }{6})}\)

To jakaś bzdura jest.

\(\displaystyle{ \lim _{x\to\frac { \pi }{6}} \cos (\frac{x}{2}+\frac{ \pi }{12})=\cos (\frac{\pi}{12}+\frac{ \pi }{12})=\cos \frac{ \pi }{6}=\frac{ \sqrt{3} }{2}.}\)

JK

[ewap]

Tak, to ma sens.