warunek konieczny i dostateczny zbieżności ciągu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
zofia48
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 3 lis 2021, o 20:58
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 15 razy

warunek konieczny i dostateczny zbieżności ciągu

Post autor: zofia48 »

Witam, jak brzmi warunek konieczny oraz dostateczny zbieżności ciągu? Szukałam w internecie, jednak wszędzie jest tylko mowa o szeregach. Proszę o pomoc.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: warunek konieczny i dostateczny zbieżności ciągu

Post autor: matmatmm »

Jest wiele takich warunków. W przypadku ciągu o wartościach rzeczywistych jeden z nich to

1. Granica górna jest równa granicy dolnej (i obie są skończone).
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: warunek konieczny i dostateczny zbieżności ciągu

Post autor: Jan Kraszewski »

Albo warunek wystarczający: ciąg jest monotoniczny i ograniczony.

JK
zofia48
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 3 lis 2021, o 20:58
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 15 razy

Re: warunek konieczny i dostateczny zbieżności ciągu

Post autor: zofia48 »

Czy warunkiem koniecznym może być ograniczoność ciągu? A dostatecznym ciąg Cauchy'ego?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: warunek konieczny i dostateczny zbieżności ciągu

Post autor: Janusz Tracz »

zofia48 pisze: 31 sty 2022, o 22:55 Czy warunkiem koniecznym może być ograniczoność ciągu? A dostatecznym ciąg Cauchy'ego?
Tak bo \(\displaystyle{ \text{istnienie skończonej granicy} \Rightarrow \text{ograniczoność}}\). Zatem \(\displaystyle{ \text{ciąg nieograniczony} \Rightarrow \text{nie ma granicy skończonej}}\). Co do ciągów Cauchy'ego to zachodzi implikacja
\(\displaystyle{ \text{ciąg jest zbieżny} \Rightarrow \text{ciag jest Cauchy'ego} }\)

i o ile przestrzeń w której żyje ciąg jest zupełna (\(\displaystyle{ \RR}\) jest) to zachodzi też implikacja odwrotna

\(\displaystyle{ \text{ciag jest Cauchy'ego} \Rightarrow \text{ciąg jest zbieżny.} }\)

Zatem w przestrzeniach zupełnych ciągi zbieżne są scharakteryzowane warunkiem Cauchy'ego. Innymi słowy bycie ciągiem Cauchy'ego jest warunkiem koniecznym i dostatecznym dla zbieżność.

PS możesz udowodnić pierwszą implikację \(\displaystyle{ \text{istnienie skończonej granicy} \Rightarrow \text{ograniczoność}}\) powołując się na charakteryzację (prawdziwą w \(\displaystyle{ \RR}\)) zbieżności jako bycie ciągiem Cauchy'ego. Innymi słowy ciągi Cauchy'ego są ograniczone.
Ostatnio zmieniony 1 lut 2022, o 00:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ