warunek konieczny i dostateczny zbieżności ciągu
-
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 3 lis 2021, o 20:58
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 15 razy
warunek konieczny i dostateczny zbieżności ciągu
Witam, jak brzmi warunek konieczny oraz dostateczny zbieżności ciągu? Szukałam w internecie, jednak wszędzie jest tylko mowa o szeregach. Proszę o pomoc.
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: warunek konieczny i dostateczny zbieżności ciągu
Jest wiele takich warunków. W przypadku ciągu o wartościach rzeczywistych jeden z nich to
1. Granica górna jest równa granicy dolnej (i obie są skończone).
1. Granica górna jest równa granicy dolnej (i obie są skończone).
-
- Administrator
- Posty: 34293
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: warunek konieczny i dostateczny zbieżności ciągu
Albo warunek wystarczający: ciąg jest monotoniczny i ograniczony.
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 3 lis 2021, o 20:58
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 15 razy
Re: warunek konieczny i dostateczny zbieżności ciągu
Czy warunkiem koniecznym może być ograniczoność ciągu? A dostatecznym ciąg Cauchy'ego?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: warunek konieczny i dostateczny zbieżności ciągu
Tak bo \(\displaystyle{ \text{istnienie skończonej granicy} \Rightarrow \text{ograniczoność}}\). Zatem \(\displaystyle{ \text{ciąg nieograniczony} \Rightarrow \text{nie ma granicy skończonej}}\). Co do ciągów Cauchy'ego to zachodzi implikacja
\(\displaystyle{ \text{ciąg jest zbieżny} \Rightarrow \text{ciag jest Cauchy'ego} }\)
i o ile przestrzeń w której żyje ciąg jest zupełna (\(\displaystyle{ \RR}\) jest) to zachodzi też implikacja odwrotna
\(\displaystyle{ \text{ciag jest Cauchy'ego} \Rightarrow \text{ciąg jest zbieżny.} }\)
Zatem w przestrzeniach zupełnych ciągi zbieżne są scharakteryzowane warunkiem Cauchy'ego. Innymi słowy bycie ciągiem Cauchy'ego jest warunkiem koniecznym i dostatecznym dla zbieżność.
PS możesz udowodnić pierwszą implikację \(\displaystyle{ \text{istnienie skończonej granicy} \Rightarrow \text{ograniczoność}}\) powołując się na charakteryzację (prawdziwą w \(\displaystyle{ \RR}\)) zbieżności jako bycie ciągiem Cauchy'ego. Innymi słowy ciągi Cauchy'ego są ograniczone.
Ostatnio zmieniony 1 lut 2022, o 00:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.