Granica ciagu

[ewap]

Dobry wieczor,

Mam taka granice:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+ \frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}=}\)


Przy rozwiazaniu skorzystano z twierdzen trzech ciagow, ale nie jestem pewna skad sie wzial n w liczniku i dlaczego te ciagi sa zapisane w takiej kolejnosci:

\(\displaystyle{ \frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\leq a_n \leq \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} }\)

Bylabym wdzieczna za naprowadzenie.

[Jan Kraszewski]

Pierwszy wyraz w tej sumie jest największy, a ostatni najmniejszy. Szacując sumę każdy wyraz szacujesz z dołu przez najmniejszy, a z góry przez największy.

JK

[ewap]

Oczywiscie, ze tak jest z kojejnoscia . Dziekuje bardzo.
Zastanawialam sie jeszcze dlaczego to n weszlo do licznika, a nie pod pierwiastek, ale wtedy ten wyraz nie bylby najwiekszy.
Czego jeszcz nie rozumiem to jaki zwiazek ma to \(\displaystyle{ \color{blue}{n}}\) z wyrazu ciagu np.: \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{{\color{blue}{n}}^2+1}}}\) do liczby wyrazow n, ze traktuje jako tozsame.

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ n}\) z licznika bierze się stąd, że wyrazów w tej sumie jest \(\displaystyle{ n}\) "sztuk" najmniejszy to \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{n^2+n} } }\), a największy to \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{n^2+1} } }\) (ale to jest jeden wyraz z \(\displaystyle{ n}\) wyrazów w ogóle).

Dodano po 1 minucie 10 sekundach:

\(\displaystyle{ \blue{3} \cdot 7 \le 7+8+9 \le \blue{3} \cdot 9}\)

[ewap]

O dziekuje bardzo za odpowiedz.
Tylko dlaczego liczba wyrazow ciagu rowna w tym przypadku n i ta niewiadoma pod pierwiastkiem n sa wstawiane do obliczenia granicy jako to samo n.
Bo jezeli np.: mam wzor \(\displaystyle{ a_n=a_1+({\color{blue}{n}}-1) \cdot r}\) gdzie \(\displaystyle{ {\color{blue}{n}}}\) jest liczba wyrazow ciagu \(\displaystyle{ {\color{blue}{n}}=\frac{a_n-a_1}{r}+1}\) i przykladowo granice \(\displaystyle{ {\lim_{n\to\infty}{[1+5+9\dots+(4\green{n}+1)]}}}\)
to \(\displaystyle{ { {\color{blue}{n}}}\neq{{\color{green}{n}}}}\)

[Jan Kraszewski]

Tylko dlaczego liczba wyrazow ciagu rowna w tym przypadku n i ta niewiadoma pod pierwiastkiem n sa wstawiane do obliczenia granicy jako to samo n.

Bo tak ułożono to zadanie?

Musisz nauczyć się liczyć liczbę wyrazów w takich sumach. Tu masz

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n^2+\,\red{1}}}+ \frac{1}{\sqrt{n^2+\,\red{2}}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+\,\red{n}}}}\)

czyli widzisz, co opisuje zmienność wyrazów w tej sumie, co pozwala Ci policzyć, że jest ich \(\displaystyle{ n}\) (od \(\displaystyle{ \red{1}}\) do \(\displaystyle{ \red{n}}\)).

Podobnie miałaś w \(\displaystyle{ 1+5+9+...+(4n+1)=(4\cdot\,\red{0}\,+1)+(4\cdot\,\red{1}\,+1)+(4\cdot\,\red{2}\,+1)+...+(4\cdot\,\red{n}\,+1)}\), czyli wyrazów jest \(\displaystyle{ n+1}\) (od \(\displaystyle{ \red{0}}\) do \(\displaystyle{ \red{n}}\)).

JK

[ewap]

Bardzo mi to rozjasnilo . Dziekuje!!!