Granica funkcji z e do potęgi sinx

[wikusi290]

Potrzebuje pomocy z tymi zadaniami, nie wiem od czego zacząć bo nie mogę obliczyć tego pochodnymi.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{e ^{\sin5x}-e ^{\sin x} }{\ln(1+2x)}\\
\lim_{x \to \frac{ \pi }{2} } ( \frac{ \pi }{2} -x)\tg x\\
\lim_{x \to e} \frac{\ln x-1}{x-e}}\)

[Tmkk]

Większość z tych przykładów polega na przekształceniu i doprowadzeniu do jednej lub kilku 'znanych' granic, które musiałaś już poznać, skoro masz zrobić te przykłady.

Zacznijmy od pierwszego, czy wiesz ile wynoszą następujące granice: \(\displaystyle{ \lim_{y \to 0} \frac{\ln{(1+y)}}{y}}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{y \to 0} \frac{e^y - 1 }{y}}\)?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \frac{ \pi }{2} } \left( \frac{ \pi }{2} -x\right) \tg x}\)

Podstawienie \(\displaystyle{ t=\frac{ \pi }{2} -x.}\)

JK

[wikusi290]

rozumiem, że to trzeba wlasnie do tej postaci sprowadzić ale co zrobić z tym \(\displaystyle{ e ^{\sin5x}}\)? jak to zamienic?

[Tmkk]

Zacznij od napisania \(\displaystyle{ e^{\sin{5x}} - e^{\sin{x}} = \left(e^{\sin{5x}} - 1\right) - \left(e^{\sin{x}} - 1\right)}\) w liczniku i rozdziel sobie to na dwa ułamki. Nietrudno się domyślić, dlaczego akurat tak - chcesz to doprowadzić do tej znanej granicy, a tam jest \(\displaystyle{ -1}\) w liczniku. Dla pierwszego ułamka (i dla drugiego potem tak samo), piszesz sobie

\(\displaystyle{ \frac{e^{\sin{5x}} - 1}{\ln{(1+2x)} }=\frac{e^{\sin{5x}} - 1}{\sin{5x}} \cdot COŚ}\)

Teraz dwa pytania: do czego dąży pierwszy składnik, gdy \(\displaystyle{ x\to 0}\), oraz ile wynosi "coś", aby powyższa równość zachodziła?

[wikusi290]

Czyli podany składnik dąży do 1 a to ‚COŚ’ to \(\displaystyle{ \frac{\sin5x}{ln(1+\2x}}\)? i teraz wychodzi na to, ze powinnam mieć w liczniku \(\displaystyle{ 2x}\) jeszcze i jak tak zrobiłam to zostaje mi, ze \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin5x}{2x}}\), czyli nadal \(\displaystyle{ \frac00.}\)

Dodano po 3 minutach 6 sekundach:
czy teraz trzeba zastosować, że \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x} \rightarrow 1}\)?

[Tmkk]

Dokładnie tak. Widzisz, takie triki sprawiają, że część liczysz, a część nie. Ale ta część, co zostaje, powinna już być prostsza do policzenia.

Tak, teraz jesteś na etapie \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sin{5x}}{2x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin{5x}}{5x} \cdot COŚ}\). Pierwszy kawałek dąży do \(\displaystyle{ 1}\), a drugi to...? I jaki jest ostateczny wynik granicy tego ułamka?

Jak się z tym uporasz to zrób dokładnie to samo dla drugiego ułamka : )

[wikusi290]

Wynik calkowity wyszedł mi 2, dobrze?

[Tmkk]

Tak, super. Jeśli chodzi o drugi podpunkt, zacznij od tego, co napisał @Jan Kraszewski.

[wikusi290]

w tym drugim stosuje to, że \(\displaystyle{ \frac{\tg x}{x} \rightarrow 1}\), wtedy zostaje mi \(\displaystyle{ tx}\) i co dalej z tym moge zrobić?

Dodano po 4 minutach 42 sekundach:
a w trzecim doszłam do tego,że \(\displaystyle{ \ln \frac{x}{e} ^{ \frac{1}{x-e} }}\)

[Tmkk]

Może najpierw skupmy się na drugim przykładzie. Żeby tego typu podstawienie miało sens i coś dało, musisz zamienić wszystkie literki \(\displaystyle{ x}\) na literki \(\displaystyle{ t}\) (we właściwy sposób) i dopiero wtedy coś myśleć dalej. PS wrzucaj wyrażenia matematyczne w tagi "latex".

[wikusi290]

to mam \(\displaystyle{ t\tg\left( \frac{ \pi }{2}-t\right) }\)

[Tmkk]

i granica przy \(\displaystyle{ t}\) dążącym do czego? Przydadzą się wzory redukcyjne (albo popatrzenie na wykres).

[wikusi290]

t dąży do \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} }\) a ze wzorów redukcyjnych mogę zamienic to wyrażenie na \(\displaystyle{ t\ctg t}\)?

[Tmkk]

Tak, ale \(\displaystyle{ t}\) nie dąży do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\). Popatrz na to chwilę.