Granica funkcji z e do potęgi sinx

[wikusi290]

po czym moge stwierdzić do czego dąży t?

[Tmkk]

Popatrz na to podstawienie: \(\displaystyle{ t = \frac{\pi}{2} - x}\). Jeśli \(\displaystyle{ x}\) zbliża się do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) (bo taką granicę liczysz), to do czego zbliża się \(\displaystyle{ t}\)?

[wikusi290]

do zera?

[Tmkk]

Tak : )

[wikusi290]

i co dalej moge z tym zrobić?

[Jan Kraszewski]

Ponieważ \(\displaystyle{ t\ctg t=\frac{t}{\tg t}}\), więc masz \(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\frac{t}{\tg t}.}\)

JK

[wikusi290]

czyli ta granica jest równa 1?

[Tmkk]

Zgadza się. Teraz co do trzeciego, może Ty coś zaproponuj. Polecam zacząć od podstawienia.

[wikusi290]

Myślałam o czymś takim: \(\displaystyle{
\lim_{x \to e} \frac{1}{x-e} (\ln x-1)= \lim_{ x\to e} \ln\left( \frac{x}{e}\right)^{ \frac{1}{x-e} } }\)

[Tmkk]

No i raczej nie wygląda to prościej, niż poczatkowa granica, nie? To pewnie nie tędy droga (chociaż też da radę).

Przede wszystkim, zastanów się do której z tych znanych granic, chcesz próbować doprowadzić to wyrażenie.

[wikusi290]

chyba najlepszym wyborem wydaje się \(\displaystyle{ \lim_{y \to 0} \frac{\ln(1+y)}{y} }\)

[Tmkk]

Dokładnie, wygląda bardzo podobnie : ) To spróbuj do tej granicy jakoś przekształcić. Polecam zacząć od podstawienia - co podstawić za \(\displaystyle{ x}\), aby zamiast w \(\displaystyle{ e}\), liczyć granicę w zerze (bo tak jest w granicy, którą właśnie napisałaś)? (dodatkowa wskazówka - popatrzenie na mianownik może pomóc)

[wikusi290]

Jeżeli dobrze myśle to mam tak
t=x-e i wtedy
\(\displaystyle{ \lim_{ t\to 0 } \frac{\ln(t+e)-1}{t} = \lim_{ t \to 0} \frac{\ln(1+ \frac{t}{e}) }{t} = \frac{1}{e} }\)

[Tmkk]

No i super

[wikusi290]

Dziękuje bardzo za pomoc