Granica ciagu

[a4karo]

Tak

[ewap]

\(\displaystyle{ = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n \cdot (n+1)(2n+1)}{6}+ \frac{(1+n) \cdot n}{2}}{2 \cdot (n+1)^3}=}\)

\(\displaystyle{ = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)+(1+n) \cdot n \cdot 3}{6}}{2 \cdot (n+1)^3}}\)

\(\displaystyle{ = \lim_{n\to\infty} \frac{n \cdot (n+1)(2n+1)+(1+n) \cdot 3 \cdot n}{12 \cdot (n+1)^3}=}\)

\(\displaystyle{ = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1) \cdot [n \cdot (2n +1) +3 \cdot n]}{12 \cdot (n+1)^3}=}\)

\(\displaystyle{ = \lim_{n\to\infty} \frac{2 \cdot n^2 +n + 3 \cdot n}{12 \cdot (n+1)^2}=}\)

\(\displaystyle{ = \lim_{n\to\infty} \frac{2 \cdot n^2 + 4 \cdot n}{12 \cdot (n+1)^2}=}\)

\(\displaystyle{ = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{n^2} \cdot \frac{(2+ \frac{4}{n})}{12 \cdot (1 + \frac{1}{n})^2}= \frac{1}{6}}\)

[Janusz Tracz]

Janusz Tracz, nie strasz dziewczyny.

To było silniejsze ode mnie. Nie mogłem się powstrzymać.

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n \cdot (n+1)(2n+1)}{6}+ \frac{(1+n) \cdot n}{2}}{2 \cdot (n+1)^3}=...}\)

Nawiązując jeszcze do mojej wypowiedzi wcześniej to tu widać dlaczego w liczniku suma kwadratów lekko zaburzona. To zaburzenie nie wpływa na wynik bo

\(\displaystyle{ \frac{\frac{n \cdot (n+1)(2n+1)}{6}+ \frac{(1+n) \cdot n}{2}}{2 \cdot (n+1)^3}=\underbrace{\frac{\frac{n \cdot (n+1)(2n+1)}{6}}{2 \cdot (n+1)^3}}_{\text{to będzie dążyć do szukanej granicy}}+\underbrace{\frac{ \frac{(1+n) \cdot n}{2}}{2 \cdot (n+1)^3}}_{\text{to będzie dążyć do zera}\\\text{to jest nieznaczące zaburzenie}}}\)

i te obserwacje można formalnie wykazać i na nich oprzeć formalne rozwiązanie. Oczywiście to, że to zaburzenie jest nieznaczące wiemy teraz. Wcześniej tylko to przypuszczałem.

[ewap]

Dziekuje wszystkim za pomoc.