Granica ciagu, iloraz ciagow

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
ewap
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 36 razy

Granica ciagu, iloraz ciagow

Post autor: ewap »

Dzien dobry,

Probuje obliczyc iloraz ciagow, ale nie potrafie uzyskac odpowiedzi zgodnej z podrecznikiem. Gdzie robie blad? :cry:

\(\displaystyle{ {\lim_{n\to\infty}\frac{1+5+9+...+(4n-1)}{1+2+3+...+n}}}\)
Korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ 1+2+...+n= \frac{(1+n)n}{2}}\)

\(\displaystyle{ = {\lim_{n\to\infty}\frac{4n(4n-1)}{(1+n)n}}}\)
\(\displaystyle{ = {\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n}\cdot \frac{16-\frac{4}{n}}{\frac{1}{n}+1} } = 16}\)
Ostatnio zmieniony 14 sty 2022, o 17:07 przez ewap, łącznie zmieniany 2 razy.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Granica ciagu, iloraz ciagow

Post autor: Jan Kraszewski »

ewap pisze: 14 sty 2022, o 16:47\(\displaystyle{ {\lim_{n\to\infty}\frac{1+5+9+(4n-1)}{1+2+3+...+n}}}\)
A czy to nie powinno wyglądać tak:

\(\displaystyle{ {\lim_{n\to\infty}\frac{1+5+9+\red{\dots+}(4n\red{+}1)}{1+2+3+...+n}}}\)

?

JK
ewap
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 36 razy

Re: Granica ciagu, iloraz ciagow

Post autor: ewap »

Dziekuje za zauwazenie. Zjadlam trzykropek.
To znaczy element ciagu jest w dalszym ciagu (4n-1)
To jest wziete z podrecznika Leitnera 6.22 (f)
Jan Kraszewski pisze: 14 sty 2022, o 17:04
ewap pisze: 14 sty 2022, o 16:47\(\displaystyle{ {\lim_{n\to\infty}\frac{1+5+9+(4n-1)}{1+2+3+...+n}}}\)
A czy to nie powinno wyglądać tak:

\(\displaystyle{ {\lim_{n\to\infty}\frac{1+5+9+\red{\dots+}(4n\red{+}1)}{1+2+3+...+n}}}\)

?

JK
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Granica ciagu, iloraz ciagow

Post autor: Jan Kraszewski »

ewap pisze: 14 sty 2022, o 17:13 Dziekuje za zauwazenie. Zjadlam trzykropek.
To znaczy element ciagu jest w dalszym ciagu (4n-1)
To jest wziete z podrecznika Leitnera 6.22 (f)
No to zapewne w podręczniku jest błąd, bo treść w wersji z minusem nie ma sensu.

Spróbuj policzyć

\(\displaystyle{ {\lim_{n\to\infty}\frac{1+5+9+\dots+(4n+1)}{1+2+3+...+n}}.}\)

JK
ewap
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 36 razy

Re: Granica ciagu, iloraz ciagow

Post autor: ewap »

Dziekuje.
Ale wynik dalej wychodzi 16. Czy tak ma byc?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Granica ciagu, iloraz ciagow

Post autor: Jan Kraszewski »

Źle sumujesz górny ciąg - zastosuj porządnie wzór na sumę skończonego postępu arytmetycznego.

JK
ewap
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 36 razy

Re: Granica ciagu, iloraz ciagow

Post autor: ewap »

To znaczy, ze korzystanie z tego wzoru jest bledem? \(\displaystyle{ { 1+2+...+n= \frac{(1+n)n}{2}}}\)
Jan Kraszewski pisze: 14 sty 2022, o 17:28 Źle sumujesz górny ciąg - zastosuj porządnie wzór na sumę skończonego postępu arytmetycznego.

JK
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Granica ciagu, iloraz ciagow

Post autor: Jan Kraszewski »

ewap pisze: 14 sty 2022, o 17:34 To znaczy, ze korzystanie z tego wzoru jest bledem? \(\displaystyle{ { 1+2+...+n= \frac{(1+n)n}{2}}}\)
Przecież ten wzór nie ma nic wspólnego z sumą \(\displaystyle{ 1+5+9\dots+(4n+1)}\), więc niby jak chciałabyś go stosować?

Ale jest za to - uczony w szkole - wzór na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego.

JK
ewap
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 36 razy

Re: Granica ciagu, iloraz ciagow

Post autor: ewap »

No, ze \(\displaystyle{ n}\) w tym ogolnym wzorze to element \(\displaystyle{ (4n+1)}\)

No dobrze, powiedzmy zostawiajac to i stosujac wzór na sumę nieskończonego postępu arytmetycznego to odpowiedz wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)?
Jest to odwrotnosc odpowiedzi w podreczniku "4".
Ostatnio zmieniony 14 sty 2022, o 17:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Granica ciagu, iloraz ciagow

Post autor: Jan Kraszewski »

ewap pisze: 14 sty 2022, o 17:57 No, ze \(\displaystyle{ n}\) w tym ogolnym wzorze to element \(\displaystyle{ (4n+1)}\)
Stosujesz wzory bez zrozumienia ich znaczenia. Przecież wzór \(\displaystyle{ 1+2+...+n= \frac{(1+n)n}{2}}\) opisuje sumę kolejnych liczb naturalnych, a w sumie \(\displaystyle{ 1+5+9\dots+(4n+1)}\) nie masz kolejnych liczb naturalnych.
ewap pisze: 14 sty 2022, o 17:57No dobrze, powiedzmy zostawiajac to i stosujac wzór na sumę nieskończonego postępu arytmetycznego
Czego?! Nie ma takiego wzoru - nie da się policzyć sumy nieskończonego postępu arytmetycznego !
ewap pisze: 14 sty 2022, o 17:57to odpowiedz wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)?
Strzelasz wzorami na ślepo. Jak wygląda wzór na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego?

JK
ewap
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 36 razy

Re: Granica ciagu, iloraz ciagow

Post autor: ewap »

Ten pierwszy wzor wzielam z przykladu z Jankowskiego z poczatku podrecznika.
Tak, faktycznie teraz rozumiem bledne zastosowanie tych wzorow.
Zastosowalam ten wzor:
\(\displaystyle{ S=\frac{a}{1-q}}\)
Ale to jest na sume nieskonczonego postepu arytmetycznego, wiec niewlasciwy.
Wiec teraz juz nie wiem jak to powinno byc :(

Dodano po 4 minutach 51 sekundach:
\(\displaystyle{ S_n= \frac{a_1+a_n}{2} \cdot {n}}\)

Dodano po 7 minutach 25 sekundach:
Widze teraz!
Zly wzor, tak jak Pan powiedzial.
Ja go wzielam z przykladu Jankowskiego, a to nie byl wzor tylko juz przeksztalcony przyklad.
Ostatnio zmieniony 14 sty 2022, o 18:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej? Stosuj "Odpowiedz" zamiast cytowania postu.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Granica ciagu, iloraz ciagow

Post autor: Jan Kraszewski »

ewap pisze: 14 sty 2022, o 18:39Zastosowalam ten wzor:
\(\displaystyle{ S=\frac{a}{1-q}}\)
Ale to jest na sume nieskonczonego postepu arytmetycznego, wiec niewlasciwy.
Nie, to jest wzór na sumę wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego, który ma iloraz o module mniejszym niż jeden.
ewap pisze: 14 sty 2022, o 18:39\(\displaystyle{ S_n= \frac{a_1+a_2}{2} \cdot {n}}\)
No źle - naprawdę tak trudno poprawnie przepisać wzór? Powinno być \(\displaystyle{ S_{\blue{n}}= \frac{a_1+a_{\blue{n}}}{2} \cdot \blue{n}}\).

To teraz użyj ten wzór do policzenia \(\displaystyle{ 1+5+9\dots+(4\green{n}+1)}\). Tylko pamiętaj, że niebieskie \(\displaystyle{ \blue{n}}\) i zielone \(\displaystyle{ \green{n}}\) to nie są te same \(\displaystyle{ n}\)...

Ogólnie: stosowanie wzoru bez zrozumienia jego znaczenia to prosta droga do katastrofy.

JK
ewap
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 36 razy

Re: Granica ciagu, iloraz ciagow

Post autor: ewap »

Tak, wzor zostal natychmiastowo poprawiony.
Dziekuje.
Ostatnio zmieniony 14 sty 2022, o 19:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej? Stosuj "Odpowiedz" zamiast cytowania postu.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Granica ciagu, iloraz ciagow

Post autor: Jan Kraszewski »

A zastosowałaś go?

JK
ewap
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 36 razy

Re: Granica ciagu, iloraz ciagow

Post autor: ewap »

Tak.
Wyszedl wynik.
Jan Kraszewski pisze: 14 sty 2022, o 19:43 A zastosowałaś go?

JK
ODPOWIEDZ