Niech ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) będzie ciągiem rzeczywistym (\(\displaystyle{ x_n \in \RR}\)) . Zbiór \(\displaystyle{ E}\) granic częściowych ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest zbiorem domkniętym.
Proszę o dowód tego twierdzenia wraz z wytłumaczeniem.
Dowód twierdzenia o domkniętości zbioru granic ciągu rzeczywistego.
-
materla
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 9 sty 2022, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 9 razy
Dowód twierdzenia o domkniętości zbioru granic ciągu rzeczywistego.
Ostatnio zmieniony 12 sty 2022, o 14:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Dowód twierdzenia o domkniętości zbioru granic ciągu rzeczywistego.
Niech \(\displaystyle{ E }\) będzie zbiorem wartości ciągu \(\displaystyle{ (x_{n}), \ \ E^{*} }\) - zbiorem wszystkich granic częściowych tego ciągu.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ s }\) jest punktem skupienia zbioru \(\displaystyle{ E^{*} }\) tzn. istnieje ciąg elementów \(\displaystyle{ (s_{n}) }\) zbioru \(\displaystyle{ E^{*} }\) taki, że \(\displaystyle{ s = \lim_{n\to \infty} s_{n}. }\)
Aby wykazać, że \(\displaystyle{ s \in E^{*} }\) wystarczy udowodnić, że \(\displaystyle{ s }\) jest punktem skupienia zbioru \(\displaystyle{ E.}\)
Niech \(\displaystyle{ \varepsilon > 0. }\) Ponieważ \(\displaystyle{ s }\) jest punktem skupienia zbioru \(\displaystyle{ E^{*},}\) więc istnieje punkt \(\displaystyle{ x \in E^{*} }\) taki, że \(\displaystyle{ 0< d(x, s) <\frac{1}{2}\varepsilon.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x \in E^{*}, }\) to dla pewnego \(\displaystyle{ x_{n} }\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ d(x, x_{n})< d(x, s). }\)
Stąd wynika, że \(\displaystyle{ x_{n}\neq s }\) i \(\displaystyle{ 0 < d(x_{n}, s)\leq d(x_{n}, x) + d(x, s) < \varepsilon. }\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x_{n} \in E, }\) więc \(\displaystyle{ s }\) jest punktem skupienia zbioru \(\displaystyle{ E.}\)
\(\displaystyle{ \Box }\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ s }\) jest punktem skupienia zbioru \(\displaystyle{ E^{*} }\) tzn. istnieje ciąg elementów \(\displaystyle{ (s_{n}) }\) zbioru \(\displaystyle{ E^{*} }\) taki, że \(\displaystyle{ s = \lim_{n\to \infty} s_{n}. }\)
Aby wykazać, że \(\displaystyle{ s \in E^{*} }\) wystarczy udowodnić, że \(\displaystyle{ s }\) jest punktem skupienia zbioru \(\displaystyle{ E.}\)
Niech \(\displaystyle{ \varepsilon > 0. }\) Ponieważ \(\displaystyle{ s }\) jest punktem skupienia zbioru \(\displaystyle{ E^{*},}\) więc istnieje punkt \(\displaystyle{ x \in E^{*} }\) taki, że \(\displaystyle{ 0< d(x, s) <\frac{1}{2}\varepsilon.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x \in E^{*}, }\) to dla pewnego \(\displaystyle{ x_{n} }\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ d(x, x_{n})< d(x, s). }\)
Stąd wynika, że \(\displaystyle{ x_{n}\neq s }\) i \(\displaystyle{ 0 < d(x_{n}, s)\leq d(x_{n}, x) + d(x, s) < \varepsilon. }\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x_{n} \in E, }\) więc \(\displaystyle{ s }\) jest punktem skupienia zbioru \(\displaystyle{ E.}\)
\(\displaystyle{ \Box }\)