Dobry wieczor,
Probuje rozwiazac te granice, ale nie wiem jak sie do niej zabrac:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{c^n}{n^k} }\)
Cz to moze jakos z logarytmu naturalnego? Jesli tak to nie wiem jak to wyprowadzic, bo wychodzi mi niewlasciwa odpowiedz.
Bardzo bylabym wdzieczna za odpowiedz.
Granica ciagu
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
- Płeć: Kobieta
- wiek: 23
- Podziękował: 36 razy
Re: Granica ciagu
A tak, zgadza sie.
c, k - stale, \(\displaystyle{ c \in R }\), \(\displaystyle{ k \in N}\)
c, k - stale, \(\displaystyle{ c \in R }\), \(\displaystyle{ k \in N}\)
Ostatnio zmieniony 7 sty 2022, o 18:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
- Płeć: Kobieta
- wiek: 23
- Podziękował: 36 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Granica ciagu
Dla \(\displaystyle{ |c|\le 1}\) wynik to zero, wystarcyz oszacować wtedy
\(\displaystyle{ \left|\frac{c^n}{n^k}\right|\le \frac{1}{n^k}}\), dla \(\displaystyle{ c>1}\) będzie to \(\displaystyle{ +\infty}\), a jak już to wykażesz, to dość naturalnym okaże się, że dla \(\displaystyle{ c<-1}\) granica nie istnieje (wystarczy rozpatrzyć podciągi wyrazów parzystych i nieparzystych).
Co do drugiej części zadania, jeśli \(\displaystyle{ c>1}\), to połóżmy \(\displaystyle{ c=1+x}\). Ze wzoru dwumianowego wynika, że dla \(\displaystyle{ n\ge k+1}\) jest
\(\displaystyle{ (1+x)^{n}\ge {n\choose k+1}x^{k+1}\ge\frac{(n-k)^{k+1}x^{k+1}}{(k+1)!}}\) i dalej łatwo.
\(\displaystyle{ \left|\frac{c^n}{n^k}\right|\le \frac{1}{n^k}}\), dla \(\displaystyle{ c>1}\) będzie to \(\displaystyle{ +\infty}\), a jak już to wykażesz, to dość naturalnym okaże się, że dla \(\displaystyle{ c<-1}\) granica nie istnieje (wystarczy rozpatrzyć podciągi wyrazów parzystych i nieparzystych).
Co do drugiej części zadania, jeśli \(\displaystyle{ c>1}\), to połóżmy \(\displaystyle{ c=1+x}\). Ze wzoru dwumianowego wynika, że dla \(\displaystyle{ n\ge k+1}\) jest
\(\displaystyle{ (1+x)^{n}\ge {n\choose k+1}x^{k+1}\ge\frac{(n-k)^{k+1}x^{k+1}}{(k+1)!}}\) i dalej łatwo.
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
- Płeć: Kobieta
- wiek: 23
- Podziękował: 36 razy
Re: Granica ciagu
Dziekuje. Rozumiem.
Premislav pisze: ↑7 sty 2022, o 18:26 Dla \(\displaystyle{ |c|\le 1}\) wynik to zero, wystarcyz oszacować wtedy
\(\displaystyle{ \left|\frac{c^n}{n^k}\right|\le \frac{1}{n^k}}\), dla \(\displaystyle{ c>1}\) będzie to \(\displaystyle{ +\infty}\), a jak już to wykażesz, to dość naturalnym okaże się, że dla \(\displaystyle{ c<-1}\) granica nie istnieje (wystarczy rozpatrzyć podciągi wyrazów parzystych i nieparzystych).
Co do drugiej części zadania, jeśli \(\displaystyle{ c>1}\), to połóżmy \(\displaystyle{ c=1+x}\). Ze wzoru dwumianowego wynika, że dla \(\displaystyle{ n\ge k+1}\) jest
\(\displaystyle{ (1+x)^{n}\ge {n\choose k+1}x^{k+1}\ge\frac{(n-k)^{k+1}x^{k+1}}{(k+1)!}}\) i dalej łatwo.