Granica ciagu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
ewap
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 36 razy

Granica ciagu

Post autor: ewap »

Dobry wieczor,

Probuje rozwiazac te granice, ale nie wiem jak sie do niej zabrac:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{c^n}{n^k} }\)
Cz to moze jakos z logarytmu naturalnego? Jesli tak to nie wiem jak to wyprowadzic, bo wychodzi mi niewlasciwa odpowiedz.
Bardzo bylabym wdzieczna za odpowiedz.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Granica ciagu

Post autor: Premislav »

Co wiemy o stałych \(\displaystyle{ c,k}\) :?: Chyba cała treść tak nie wygląda.
ewap
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 36 razy

Re: Granica ciagu

Post autor: ewap »

A tak, zgadza sie.
c, k - stale, \(\displaystyle{ c \in R }\), \(\displaystyle{ k \in N}\)
Premislav pisze: 7 sty 2022, o 18:14 Co wiemy o stałych \(\displaystyle{ c,k}\) :?: Chyba cała treść tak nie wygląda.
Ostatnio zmieniony 7 sty 2022, o 18:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Granica ciagu

Post autor: Jan Kraszewski »

No to masz kilka przypadków do rozpatrzenia.

JK
ewap
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 36 razy

Re: Granica ciagu

Post autor: ewap »

A czy moglabym liczyc na jakas wskazowke, bo nie wiem jak sie za to zabrac.
Jan Kraszewski pisze: 7 sty 2022, o 18:19 No to masz kilka przypadków do rozpatrzenia.

JK
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Granica ciagu

Post autor: Premislav »

Dla \(\displaystyle{ |c|\le 1}\) wynik to zero, wystarcyz oszacować wtedy
\(\displaystyle{ \left|\frac{c^n}{n^k}\right|\le \frac{1}{n^k}}\), dla \(\displaystyle{ c>1}\) będzie to \(\displaystyle{ +\infty}\), a jak już to wykażesz, to dość naturalnym okaże się, że dla \(\displaystyle{ c<-1}\) granica nie istnieje (wystarczy rozpatrzyć podciągi wyrazów parzystych i nieparzystych).

Co do drugiej części zadania, jeśli \(\displaystyle{ c>1}\), to połóżmy \(\displaystyle{ c=1+x}\). Ze wzoru dwumianowego wynika, że dla \(\displaystyle{ n\ge k+1}\) jest
\(\displaystyle{ (1+x)^{n}\ge {n\choose k+1}x^{k+1}\ge\frac{(n-k)^{k+1}x^{k+1}}{(k+1)!}}\) i dalej łatwo.
ewap
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 36 razy

Re: Granica ciagu

Post autor: ewap »

Dziekuje. Rozumiem. :)
Premislav pisze: 7 sty 2022, o 18:26 Dla \(\displaystyle{ |c|\le 1}\) wynik to zero, wystarcyz oszacować wtedy
\(\displaystyle{ \left|\frac{c^n}{n^k}\right|\le \frac{1}{n^k}}\), dla \(\displaystyle{ c>1}\) będzie to \(\displaystyle{ +\infty}\), a jak już to wykażesz, to dość naturalnym okaże się, że dla \(\displaystyle{ c<-1}\) granica nie istnieje (wystarczy rozpatrzyć podciągi wyrazów parzystych i nieparzystych).

Co do drugiej części zadania, jeśli \(\displaystyle{ c>1}\), to połóżmy \(\displaystyle{ c=1+x}\). Ze wzoru dwumianowego wynika, że dla \(\displaystyle{ n\ge k+1}\) jest
\(\displaystyle{ (1+x)^{n}\ge {n\choose k+1}x^{k+1}\ge\frac{(n-k)^{k+1}x^{k+1}}{(k+1)!}}\) i dalej łatwo.
ODPOWIEDZ