Granice ciagu, wyciaganie przed pierwiastek

[ewap]

Dzien dobry,

Mam problem z granica z pierwiastka trzeciego stopnia. Po zastosowaniu wzoru skroconego mnozenia nie potrafie wyciagnac \(\displaystyle{ n^2}\).
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \sqrt[3]{n^3+7n}-n}\)

Bardzo bylabym wdzieczna za pomoc

[Jan Kraszewski]

Skorzystaj ze wzoru na różnicę sześcianów: \(\displaystyle{ a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}.}\)

JK

[ewap]

Skorzystaj ze wzoru na różnicę sześcianów: \(\displaystyle{ a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}.}\)

JK

Dziekuje za szybka odpowiedz.
Tylko wtedy mam problem z wyciaganiem \(\displaystyle{ \frac{n}{n^2}}\) przed pierwiastek trzeciego stopnia.

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} {\sqrt[3]{n^3+7n}-n} =}\)
\(\displaystyle{ = \lim_{n\to \infty} \frac{7n}{( \sqrt[3]{n^3+7n})^2 + n \cdot \sqrt[3]{n^3+7n} + n^2} =}\)
\(\displaystyle{ = \lim_{n\to \infty} \frac{n}{n^2}(...)}\)

[Jan Kraszewski]

Tylko wtedy mam problem z wyciaganiem \(\displaystyle{ \frac{n}{n^2}}\) przed pierwiastek trzeciego stopnia.

Po pierwsze: jaki problem?
Po drugie: po co chcesz wyciągać akurat taki czynnik?

JK

[ewap]

Bo chce wyciagnac najwyzsza potege z licznika i mianownika.

[Jan Kraszewski]

Wystarczy popatrzeć na stopień \(\displaystyle{ n}\) w liczniku i mianowniku i już będzie widać, jaka jest granica. Ale jak chcesz, to

\(\displaystyle{ \left( \sqrt[3]{n^3+7n}\right) ^2 + n \cdot \sqrt[3]{n^3+7n} + n^2=n^2\cdot\left( \left( \sqrt[3]{1+\frac{7}{n^2}}\right)^2+ \sqrt[3]{1+\frac{7}{n^2}}+1\right). }\)

JK

[ewap]

O, super.
Faktycznie widac, ze granica wynosi 0, ale zaczelo mnie zastanawiac jak wyciagnac te potege spod pierwiastka.
Bardzo dziekuje i zycze Milych Swiat Bozego Narodzenia .