Mam tutaj jakąś lukę w podstawowych wiadomościach. Czy ktoś mógłby mi wyjaśnić z czego wynika oczywista dla autorów zależność \(\displaystyle{ a_{n}- b_{n} \sqrt{3} = \left( 2- \sqrt{3} \right) ^{n} }\)?
Można to wyprowadzić ze wzoru na dwumian Newtona? Jest to jakaś ogólna zależność, że pewnych \(\displaystyle{ x,y,a,b}\) mamy \(\displaystyle{ x+ay = \left( a+ b \right)^{n} \Rightarrow x-ay = \left( a- b \right) ^{n} }\) ?
Pozdrawiam,
Michał
Ostatnio zmieniony 7 gru 2021, o 22:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Poprawa wiadomości.
Rzeczywiście, użyłbym dwumianu Newtona. Zobacz, że skoro \(\displaystyle{ a_n, b_n}\) są liczbami naturalnymi, to równość \(\displaystyle{ a_n + b_n\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^n}\) jednoznacznie wyznacza, ile jest równe \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\). Dokładniej, jeśli
to \(\displaystyle{ a_n}\) będzie sumą wyrazów z powyższej sumy dla parzystego \(\displaystyle{ k}\), a \(\displaystyle{ b_n\sqrt{3}}\) będzie sumą wyrazów z tej sumy dla nieparzystego \(\displaystyle{ k}\). Wobec tego nietrudno napisać ile dokładnie wynosi \(\displaystyle{ a_n - b_n\sqrt{3}}\) i zwinąć do odpowiedniego dwumianu Newtona.
Można też tak:
Niech `(2+\sqrt 3)^n=a_n+b_n\sqrt 3` i `(2-\sqrt 3)^n=c_n-d_n\sqrt 3`.
Twierdzimy, że `a_n=c_n` i `b_n=d_n`
Oczywiście `a_1=c_1` i `b_1=d_1`. Ponadto
`a_{n+1}+b_{n+1}\sqrt 3=(a_n+b_n\sqrt 3)(2+\sqrt 3)=2a_n+3b_n +(a_n+2b_n)\sqrt 3`
i
`c_{n+1}-d_{n+1}\sqrt 3=(c_n-d_n\sqrt 3)(2-\sqrt 3)=2c_n+3d_n -(c_n+2d_n)\sqrt 3`.
Para ciągów `(a,b)` spełnia to samo równanie rekurencyjne i warunki początkowe co `(c,d)`, zatem te ciągi są identyczne.