Granica ilorazu ciągów

[mikesz1738]

Witam,

Polecenie brzmi: Dla wszystkich \(\displaystyle{ n \in \NN}\) zachodzi \(\displaystyle{ a_{n}+ b_{n} \sqrt{3} = \left( 2+ \sqrt{3} \right) ^{n} }\). Należy obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n} }{ b_{n} } . }\)

Tutaj przedstawione są rozwiązania:

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/2226394/if-%24a_n%2Bb_n%5Csqrt%7B3%7D%3D%282%2B%5Csqrt%7B3%7D%29%5En%24%2C-then-what%27s-%24%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Ba_n%7D%7Bb_n%7D%24%3F#answer-2226407

Mam tutaj jakąś lukę w podstawowych wiadomościach. Czy ktoś mógłby mi wyjaśnić z czego wynika oczywista dla autorów zależność \(\displaystyle{ a_{n}- b_{n} \sqrt{3} = \left( 2- \sqrt{3} \right) ^{n} }\)?

Można to wyprowadzić ze wzoru na dwumian Newtona? Jest to jakaś ogólna zależność, że pewnych \(\displaystyle{ x,y,a,b}\) mamy \(\displaystyle{ x+ay = \left( a+ b \right)^{n} \Rightarrow x-ay = \left( a- b \right) ^{n} }\) ?

Pozdrawiam,

Michał

[Tmkk]

Rzeczywiście, użyłbym dwumianu Newtona. Zobacz, że skoro \(\displaystyle{ a_n, b_n}\) są liczbami naturalnymi, to równość \(\displaystyle{ a_n + b_n\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^n}\) jednoznacznie wyznacza, ile jest równe \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\). Dokładniej, jeśli

\(\displaystyle{ (2+\sqrt{3})^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} (\sqrt{3})^{k} 2^{n-k}}\),

to \(\displaystyle{ a_n}\) będzie sumą wyrazów z powyższej sumy dla parzystego \(\displaystyle{ k}\), a \(\displaystyle{ b_n\sqrt{3}}\) będzie sumą wyrazów z tej sumy dla nieparzystego \(\displaystyle{ k}\). Wobec tego nietrudno napisać ile dokładnie wynosi \(\displaystyle{ a_n - b_n\sqrt{3}}\) i zwinąć do odpowiedniego dwumianu Newtona.

[mikesz1738]

Dziękuję za odpowiedź.

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/1710353/limit-of-a-sequence-ratio#comment-3490648

znalazłem jeszce dyskusję na ten temat.

Pozdrawiam,

Michał

[a4karo]

Można też tak:
Niech `(2+\sqrt 3)^n=a_n+b_n\sqrt 3` i `(2-\sqrt 3)^n=c_n-d_n\sqrt 3`.
Twierdzimy, że `a_n=c_n` i `b_n=d_n`
Oczywiście `a_1=c_1` i `b_1=d_1`. Ponadto
`a_{n+1}+b_{n+1}\sqrt 3=(a_n+b_n\sqrt 3)(2+\sqrt 3)=2a_n+3b_n +(a_n+2b_n)\sqrt 3`
i
`c_{n+1}-d_{n+1}\sqrt 3=(c_n-d_n\sqrt 3)(2-\sqrt 3)=2c_n+3d_n -(c_n+2d_n)\sqrt 3`.

Para ciągów `(a,b)` spełnia to samo równanie rekurencyjne i warunki początkowe co `(c,d)`, zatem te ciągi są identyczne.