Dowód indukcyjny

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
wojciechfil20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 27 lis 2021, o 14:52
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy

Dowód indukcyjny

Post autor: wojciechfil20 »

Proszę o pomoc w rozwiązaniu

Definiujemy ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) w następujący sposób;
dla \(\displaystyle{ a>0}\) definiujemy

\(\displaystyle{ x_{1} = 1, x_{n} = \frac{1}{2} \left( x_{n-1}+ \frac{a}{x _{n-1} } \right) }\)

Pokaż, stosując indukcję, że ciąg \(\displaystyle{ x _{n} }\) jest monotoniczny.
Oblicz \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } x_{n}. }\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Dowód indukcyjny

Post autor: a4karo »

Z czym masz kłopot?
wojciechfil20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 27 lis 2021, o 14:52
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy

Re: Dowód indukcyjny

Post autor: wojciechfil20 »

Nie rozwiązywałem takich zadań wcześniej i chciałbym zobaczyć jak takie rozwiązanie powinno wyglądać.

Dodano po 2 minutach 28 sekundach:
Zadania z granic robiłem, ale nie wiem jak rozwiązać zadanie z ciągiem rekurencyjnym.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Dowód indukcyjny

Post autor: a4karo »

Wiem jak pokazać zbieżnośc tego ciągu, ale nie wiem jak to zrobić używając indukcji. Bardzo jestem ciekaw, jak autor zadania by je rozwiązał, tym bardziej, że stwierdzenie nie jest prawdziwe dla `a>1`. (Ciąg jest malejący, ale dopiero od drugiego wyrazu)

Jeżli chcesz to zrobić bez indukcji, to pokaż dwie rzeczy:
1) `x_n\ge \sqrt{a}` (skorzystaj z nieówności między średnią geometryczną i arytmetyczną)
2) pokaż, że dla `n\ge 2` zachodzi `x_{n+1)-x_n\le 0` (skorzystaj z 1))
wojciechfil20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 27 lis 2021, o 14:52
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy

Re: Dowód indukcyjny

Post autor: wojciechfil20 »

Mógłbym prosić o szkic pełnego rozwiązania?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Dowód indukcyjny

Post autor: Jan Kraszewski »

No właśnie dostałeś szkic... Z którym jego fragmentem masz problem?

JK
ODPOWIEDZ