Proszę o pomoc w rozwiązaniu
Definiujemy ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) w następujący sposób;
dla \(\displaystyle{ a>0}\) definiujemy
\(\displaystyle{ x_{1} = 1, x_{n} = \frac{1}{2} \left( x_{n-1}+ \frac{a}{x _{n-1} } \right) }\)
Pokaż, stosując indukcję, że ciąg \(\displaystyle{ x _{n} }\) jest monotoniczny.
Oblicz \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } x_{n}. }\)
Dowód indukcyjny
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 27 lis 2021, o 14:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 27 lis 2021, o 14:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
Re: Dowód indukcyjny
Nie rozwiązywałem takich zadań wcześniej i chciałbym zobaczyć jak takie rozwiązanie powinno wyglądać.
Dodano po 2 minutach 28 sekundach:
Zadania z granic robiłem, ale nie wiem jak rozwiązać zadanie z ciągiem rekurencyjnym.
Dodano po 2 minutach 28 sekundach:
Zadania z granic robiłem, ale nie wiem jak rozwiązać zadanie z ciągiem rekurencyjnym.
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Dowód indukcyjny
Wiem jak pokazać zbieżnośc tego ciągu, ale nie wiem jak to zrobić używając indukcji. Bardzo jestem ciekaw, jak autor zadania by je rozwiązał, tym bardziej, że stwierdzenie nie jest prawdziwe dla `a>1`. (Ciąg jest malejący, ale dopiero od drugiego wyrazu)
Jeżli chcesz to zrobić bez indukcji, to pokaż dwie rzeczy:
1) `x_n\ge \sqrt{a}` (skorzystaj z nieówności między średnią geometryczną i arytmetyczną)
2) pokaż, że dla `n\ge 2` zachodzi `x_{n+1)-x_n\le 0` (skorzystaj z 1))
Jeżli chcesz to zrobić bez indukcji, to pokaż dwie rzeczy:
1) `x_n\ge \sqrt{a}` (skorzystaj z nieówności między średnią geometryczną i arytmetyczną)
2) pokaż, że dla `n\ge 2` zachodzi `x_{n+1)-x_n\le 0` (skorzystaj z 1))
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 27 lis 2021, o 14:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
-
- Administrator
- Posty: 34125
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy