Niech \(\displaystyle{ a_1 \in \RR \setminus \{−1\}}\) i niech
\(\displaystyle{ a_{n+1} = \frac{a_n^2} {1 + a_n} }\)
dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\).
Zbadać zbieżność ciągu \(\displaystyle{ (a_n) }\) i wyznaczyć jego granicę, o ile istnieje.
Jak to rozwiązywać?
granica ciągu
-
- Użytkownik
- Posty: 99
- Rejestracja: 21 sty 2021, o 16:29
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 40 razy
granica ciągu
Ostatnio zmieniony 27 lis 2021, o 12:58 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Nawiasy klamrowe to \{, \}.
Powód: Poprawa wiadomości. Nawiasy klamrowe to \{, \}.
Re: granica ciągu
Niech \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^2}{1+x}}\) dla \(x\ne -1.\) Mamy \(a_{n+1}=f(a_n).\) Zbieżność takiego ciągu iterat badamy dowodząc monotoniczności i ograniczoności ciągu. Jeśli tak jest, to niech \(a\) będzie granicą. Przechodząc po obu stronach równości do granicy dostaniemy\[a=\frac{a^2}{1+a},\]skąd wyliczymy \(a=0\). Zatem zero jest jedyną możliwą granicą tego ciągu (jeśli jest zbieżny).
Z eksperymentów numerycznych widać, że dla \(a<-1\) ciąg \((a_n)\) jest rozbieżny do \(-\infty\), a dla \(a>-1\) zmierza do zera (i to bardzo szybko). Teraz trzeba to usankcjonować jakimś dowodem.
Z analizy pochodnej widać, że dla \(x<-1\) mamy \(f(x)\le f(-2)=-4\). Tak więc przy \(a<-1\) mamy \(a_1=f(a)\le -4\), \(a_2=f(a_1)\le -4\) i wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze lub równe \(-4\), skąd ciąg nie może zmierzać do zera, a to jedyna możliwa granica.
Samodzielnie zbadaj przypadek \(\displaystyle{ a>-1}\). Może pomocny okaże się rysunek. Widać z niego, że ciąg \((a_n)\) powinien być malejący (przynajmniej od drugiego wyrazu), a jest ograniczony z dołu przez zero, więc jest zbieżny. I pokaż tę monotoniczność ciągu.
Pozmieniaj różne wartości początkowe \(a\).
Z eksperymentów numerycznych widać, że dla \(a<-1\) ciąg \((a_n)\) jest rozbieżny do \(-\infty\), a dla \(a>-1\) zmierza do zera (i to bardzo szybko). Teraz trzeba to usankcjonować jakimś dowodem.
Z analizy pochodnej widać, że dla \(x<-1\) mamy \(f(x)\le f(-2)=-4\). Tak więc przy \(a<-1\) mamy \(a_1=f(a)\le -4\), \(a_2=f(a_1)\le -4\) i wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze lub równe \(-4\), skąd ciąg nie może zmierzać do zera, a to jedyna możliwa granica.
Samodzielnie zbadaj przypadek \(\displaystyle{ a>-1}\). Może pomocny okaże się rysunek. Widać z niego, że ciąg \((a_n)\) powinien być malejący (przynajmniej od drugiego wyrazu), a jest ograniczony z dołu przez zero, więc jest zbieżny. I pokaż tę monotoniczność ciągu.
Kod: Zaznacz cały
https://www.desmos.com/calculator/zhceu0c7nd
Pozmieniaj różne wartości początkowe \(a\).
Ostatnio zmieniony 27 lis 2021, o 17:27 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.