Mamy ciąg zadany wzorem \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{1+2+4+...+ 2^{n} }{2 ^{n}+\left( \frac{3}{2} \right) ^{n} } }\)
Należy policzyć jego granicę. Normalnie takie zadania rozwiązywaliśmy podstawiając wzór na sumę zadanego ciągu geometrycznego.
Czyli na górze mamy ciąg o wyrazach \(\displaystyle{ a_{1} = 1, q = 2 }\) a na dole \(\displaystyle{ a_{1} = 1,q = 2 }\) i ten drugi zadany od \(\displaystyle{ \frac{3}{2} }\)
Jednak podstawiając wzór na sumę ciągu na górze otrzymujemy ostatecznie: \(\displaystyle{ 2^{n} -1}\), podczas gdy kalkulatory podają że wzór na sumę częściową tego ciągu to \(\displaystyle{ 2 ^{n+1}-1}\)
Wynik również wychodzi dobry tylko dla podstawienia \(\displaystyle{ 2 ^{n+1}-1}\)
Skąd się to bierze? Mile widziane wyjaśnienie z wykorzystaniem szeregów oraz bez szeregów jeżeli takie istnieją. Rozwiązanie granicy znam jak coś nie musicie się nad tym trudzić. Bo jeśli dobrze wiem to granica wychodzi 2
Obliczanie granicy
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Re: Obliczanie granicy
Popełniasz klasyczny błąd , który przeanalizował Jarosław Wróblewski z Uniwersytetu Wrocławskiego , w tej publikacji :
w liczniku tego ułamka jest \(\displaystyle{ n+1}\) wyrazów bo \(\displaystyle{ 1=2^0}\)
Kod: Zaznacz cały
http://www.math.uni.wroc.pl/~jwr/MdM2/MdM4r.pdf
w liczniku tego ułamka jest \(\displaystyle{ n+1}\) wyrazów bo \(\displaystyle{ 1=2^0}\)