Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
hdw3
Użytkownik
Posty: 19 Rejestracja: 11 gru 2016, o 16:12
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 11 razy
Post
autor: hdw3 » 26 lis 2021, o 13:48
Jak obliczyć granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} \frac{ 2^{x} - 1}{x} }\)
Próbowałem to obliczyć w ten sposób:
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} 2^{x} = 1 }\)
więc:
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} 2^{x} - 1 = 0 }\)
i dlatego wychodzi mi, że:
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} \frac{ 2^{x} - 1}{x} = \frac{0}{0} }\)
ale muszę coś źle obliczać, ponieważ wynik powinien być równy:
\(\displaystyle{ log(2) }\)
Wynik wziąłem z
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input/?i2d=true&i=Limit%5BDivide%5BPower%5B2%2Cx%5D-1%2Cx%5D%2Cx-%3E0%5D
Ostatnio zmieniony 26 lis 2021, o 14:16 przez
Jan Kraszewski , łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie używaj wzorów w tytule tematu.
JHN
Użytkownik
Posty: 668 Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy
Post
autor: JHN » 26 lis 2021, o 14:08
Skoro
hdw3 pisze: ↑ 26 lis 2021, o 13:48
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} \frac{ 2^{x} - 1}{x} = \frac{0}{0} }\)
to wykorzystaj regułę del'Hospitala
Pozdrawiam
hdw3
Użytkownik
Posty: 19 Rejestracja: 11 gru 2016, o 16:12
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 11 razy
Post
autor: hdw3 » 26 lis 2021, o 14:43
JHN pisze: ↑ 26 lis 2021, o 14:08
Skoro
hdw3 pisze: ↑ 26 lis 2021, o 13:48
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} \frac{ 2^{x} - 1}{x} = \frac{0}{0} }\)
to wykorzystaj regułę del'Hospitala
Pozdrawiam
Wykorzystując regułę de l'Hospitala faktycznie wychodzi oczekiwany wynik, ale muszę to obliczyć w jakiś sposób nie wykorzystując tej reguły, ponieważ próbuję obliczyć pochodną funkcji
\(\displaystyle{ 2^{x} }\) używając definicji.
Zakładając, że:
\(\displaystyle{ f(x) = 2^{x} }\)
obliczyłem, że:
\(\displaystyle{ \lim_{\dd x \to 0} \frac{\dd f}{ \dd x } = \lim_{\dd x \to 0} 2^{x} ( \frac{ 2^{\dd x} - 1 }{\dd x} ) }\)
I stąd zrodziło się moje pytanie o granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{ 2^{x} - 1}{x} }\)
bo zakładając, że:
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} \frac{ 2^{x} - 1}{x} = \frac{0}{0} }\)
nie otrzymam żadnego rozwiązania w moim równaniu z pochodną.
Ale podstawiając małe liczby pod
\(\displaystyle{ \dd x}\)
można zauważyć, że:
\(\displaystyle{ \frac{ 2^{\dd x} - 1}{\dd x} \approx 0,693 }\)
co zgadza się z wartością
\(\displaystyle{ \log_e 2 }\)
i pokrywa się z tym, że
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} \frac{ 2^{x} - 1}{x} = \log_e 2 }\)
tylko teraz nie wiem jak to "formalnie" rozwiązać
Dasio11
Moderator
Posty: 10226 Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2362 razy
Post
autor: Dasio11 » 26 lis 2021, o 15:41
Skoro \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} 2^x - 1 = 0}\) , to podstawiając \(\displaystyle{ t = 2^x - 1}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{2^x-1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\log_2(t+1)} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{\log_2 (t+1)^{\frac{1}{t}}}}\) .
Dalej możesz skorzystać z definicji/własności liczby \(\displaystyle{ e}\) .
janusz47
Użytkownik
Posty: 7918 Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1671 razy
Post
autor: janusz47 » 26 lis 2021, o 15:45
\(\displaystyle{ t = 2^{x} -1 }\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{2^{x} -1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{t\ln(2)}{\ln(1+t)} = \lim_{t \to 0} \frac{\ln(2)}{\frac{1}{t}\ln(1+t) } = \lim_{t \to 0} \frac{\ln(2)}{\ln(1+ t)^{\frac{1}{t}}} = \ \ ... }\)
a4karo
Użytkownik
Posty: 22210 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3755 razy
Post
autor: a4karo » 26 lis 2021, o 15:53
Albo tak:
\(\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n<e<\left(1+\frac1n\right)^{n+1}}\)
I lewa strona daje
\(\displaystyle{ 1<\frac{e^{1/n}-1}{1/n}}\)
zaś prawa (po zamianie `n+1` na `n`)
\(\displaystyle{ \frac{e^{1/n}-1}{1/n}<\frac{n}{n-1}}\)
Stąd wnioskujesz, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=1}\) , a \(\displaystyle{ \frac{2^x-1}{x}=\ln 2\frac{e^{x\ln 2-1}}{x\ln 2}}\)