Jak obliczyć granicę?

[hdw3]

Jak obliczyć granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} \frac{ 2^{x} - 1}{x} }\)

Próbowałem to obliczyć w ten sposób:

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} 2^{x} = 1 }\)

więc:

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} 2^{x} - 1 = 0 }\)

i dlatego wychodzi mi, że:

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} \frac{ 2^{x} - 1}{x} = \frac{0}{0} }\)

ale muszę coś źle obliczać, ponieważ wynik powinien być równy: \(\displaystyle{ log(2) }\)
Wynik wziąłem z

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i2d=true&i=Limit%5BDivide%5BPower%5B2%2Cx%5D-1%2Cx%5D%2Cx-%3E0%5D

[JHN]

Skoro

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} \frac{ 2^{x} - 1}{x} = \frac{0}{0} }\)

to wykorzystaj regułę del'Hospitala

Pozdrawiam

[hdw3]

Skoro

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} \frac{ 2^{x} - 1}{x} = \frac{0}{0} }\)

to wykorzystaj regułę del'Hospitala

Pozdrawiam

Wykorzystując regułę de l'Hospitala faktycznie wychodzi oczekiwany wynik, ale muszę to obliczyć w jakiś sposób nie wykorzystując tej reguły, ponieważ próbuję obliczyć pochodną funkcji \(\displaystyle{ 2^{x} }\) używając definicji.

Zakładając, że:

\(\displaystyle{ f(x) = 2^{x} }\)

obliczyłem, że:

\(\displaystyle{ \lim_{\dd x \to 0} \frac{\dd f}{ \dd x } = \lim_{\dd x \to 0} 2^{x} ( \frac{ 2^{\dd x} - 1 }{\dd x} ) }\)

I stąd zrodziło się moje pytanie o granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{ 2^{x} - 1}{x} }\)

bo zakładając, że:

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} \frac{ 2^{x} - 1}{x} = \frac{0}{0} }\)

nie otrzymam żadnego rozwiązania w moim równaniu z pochodną.

Ale podstawiając małe liczby pod \(\displaystyle{ \dd x}\)
można zauważyć, że:

\(\displaystyle{ \frac{ 2^{\dd x} - 1}{\dd x} \approx 0,693 }\)

co zgadza się z wartością \(\displaystyle{ \log_e 2 }\)

i pokrywa się z tym, że

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} \frac{ 2^{x} - 1}{x} = \log_e 2 }\)

tylko teraz nie wiem jak to "formalnie" rozwiązać

[Dasio11]

Skoro \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} 2^x - 1 = 0}\), to podstawiając \(\displaystyle{ t = 2^x - 1}\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{2^x-1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\log_2(t+1)} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{\log_2 (t+1)^{\frac{1}{t}}}}\).

Dalej możesz skorzystać z definicji/własności liczby \(\displaystyle{ e}\).

[janusz47]

\(\displaystyle{ t = 2^{x} -1 }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{2^{x} -1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{t\ln(2)}{\ln(1+t)} = \lim_{t \to 0} \frac{\ln(2)}{\frac{1}{t}\ln(1+t) } = \lim_{t \to 0} \frac{\ln(2)}{\ln(1+ t)^{\frac{1}{t}}} = \ \ ... }\)

[a4karo]

Albo tak:
\(\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n<e<\left(1+\frac1n\right)^{n+1}}\)
I lewa strona daje

\(\displaystyle{ 1<\frac{e^{1/n}-1}{1/n}}\)

zaś prawa (po zamianie `n+1` na `n`)

\(\displaystyle{ \frac{e^{1/n}-1}{1/n}<\frac{n}{n-1}}\)

Stąd wnioskujesz, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=1}\), a \(\displaystyle{ \frac{2^x-1}{x}=\ln 2\frac{e^{x\ln 2-1}}{x\ln 2}}\)