Twierdzenie o 3-ech ciągach - przykład

[IceMajor2]

Witam, mam taki ciąg \(\displaystyle{ a _{n} = \frac{n}{n^{2}+1}\cos\left( 5n+3\right).}\)

Mam obliczyć granicę tego ciągu w nieskończoności, więc wziąłem twierdzenie o 3-ech ciągach (wydaje mi się być tutaj stosowne i najłatwiejsze) i mam coś takiego:

\(\displaystyle{ - \frac{n}{n^{2}+1} \le a_{n} \le \frac{n}{n^{2}+1}}\)

Stąd wychodzi, że granica ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest równa 0. Jest to poprawna odpowiedź, ale mam wrażenie, że i tak nie jest to właściwe oszacowanie, bo gdybyśmy zamiast \(\displaystyle{ n}\) w mianowniku podstawili \(\displaystyle{ n^{3}}\), to te twierdzenie nie dałoby poprawnego wyniku, bo z lewej strony wyszłaby \(\displaystyle{ - \infty }\) a z prawej \(\displaystyle{ +\infty}\).

Gdzie popełniłem błąd? Czy jest jakieś inne, łatwiejsze rozwiązanie tego zadania niż przez twierdzenie o 3-ech ciągach?

Pozdrawiam.

[Jan Kraszewski]

Stąd wychodzi, że granica ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest równa 0. Jest to poprawna odpowiedź,

Tak.

ale mam wrażenie, że i tak nie jest to właściwe oszacowanie,

Jest poprawne.

bo gdybyśmy zamiast \(\displaystyle{ n}\) w mianowniku podstawili \(\displaystyle{ n^{3}}\),

Nie rozumiem.

JK

[IceMajor2]

bo gdybyśmy zamiast \(\displaystyle{ n}\) w mianowniku podstawili \(\displaystyle{ n^{3}}\),

Nie rozumiem.

JK

Dziękuję za odpowiedź.
\(\displaystyle{ - \frac{n^{3}}{n^{2}+1} \le \frac{n^{3}}{n^{2}+1}\cos \left( 5n+3\right) \le \frac{n^{3}}{n^{2}+1}}\).

Granica prawego ciągu = \(\displaystyle{ +\infty}\), granica lewego ciągu = \(\displaystyle{ -\infty}\).

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ - \frac{n^{3}}{n^{2}+1} \le \frac{n^{3}}{n^{2}+1}\cos \left( 5n+3\right) \le \frac{n^{3}}{n^{2}+1}}\).

Granica prawego ciągu = \(\displaystyle{ +\infty}\), granica lewego ciągu = \(\displaystyle{ -\infty}\).

No i co z tego? Przecież to zupełnie inny ciąg.

JK

[IceMajor2]

\(\displaystyle{ - \frac{n^{3}}{n^{2}+1} \le \frac{n^{3}}{n^{2}+1}\cos \left( 5n+3\right) \le \frac{n^{3}}{n^{2}+1}}\).

Granica prawego ciągu = \(\displaystyle{ +\infty}\), granica lewego ciągu = \(\displaystyle{ -\infty}\).

No i co z tego? Przecież to zupełnie inny ciąg.

JK

Nie wiem, stąd się pytam. Wydaje mi się, że coś jest nie tak, jeśli zwykłe zmienienie potęgi powoduje, że twierdzenie jest już nieaktualne.

W takim razie, jak oszacować ten przykład z \(\displaystyle{ n^{3}}\)?

[a4karo]

Twierdzenie nadal jest aktualne, tylko chyba nie rozumiesz jego sensu.
Sprowadza się on do tego, że jeżeli skrajne wyrażenia mają TĘ SAMĄ granice, to to, co w środku, też taka ma. Twój przykład nie spełnia tego warunku, więc narzędzie nie ma tu zastosowania.

Dodano po 1 minucie 5 sekundach:
A kto ci powiedział, że w przykładzie z `n^3` masz do czynienia z ciągiem zbieżnym?

[IceMajor2]

Dodano po 1 minucie 5 sekundach:
A kto ci powiedział, że w przykładzie z `n^3` masz do czynienia z ciągiem zbieżnym?

Twierdzenie o 3-ech ciągach nie ogranicza się jedynie do ciągów z granicą właściwą, czy się mylę? Przykładowo: \(\displaystyle{ \frac{4^{n}+1}{2^{n}+\cos\left( n!\right) } }\).

Chyba, że jako ciąg rozbieżny określamy ciąg nieposiadający granicy.

[Jan Kraszewski]

Twierdzenie o 3-ech ciągach nie ogranicza się jedynie do ciągów z granicą właściwą, czy się mylę?

Ogranicza się. W przypadku badania rozbieżności do \(\displaystyle{ \pm \infty}\) mamy twierdzenie o dwóch ciągach.

Chyba, że jako ciąg rozbieżny określamy ciąg nieposiadający granicy.

Tak to zazwyczaj robimy. Istnieje pewna dwuznaczność terminologiczna, w związku z którą jedni badają ciągi rozbieżne do \(\displaystyle{ \infty}\), a inni - ciągi zbieżne do \(\displaystyle{ \infty}\). Ale to nie wpływa na omawiane przez nas twierdzenia.

JK

[arek1357]

A kto ci powiedział że nie posiada granicy?

[IceMajor2]

Twierdzenie o 3-ech ciągach nie ogranicza się jedynie do ciągów z granicą właściwą, czy się mylę?

Ogranicza się. W przypadku badania rozbieżności do \(\displaystyle{ \pm \infty}\) mamy twierdzenie o dwóch ciągach.

Chyba, że jako ciąg rozbieżny określamy ciąg nieposiadający granicy.

Tak to zazwyczaj robimy. Istnieje pewna dwuznaczność terminologiczna, w związku z którą jedni badają ciągi rozbieżne do \(\displaystyle{ \infty}\), a inni - ciągi zbieżne do \(\displaystyle{ \infty}\). Ale to nie wpływa na omawiane przez nas twierdzenia.

JK

Rozumiem, więc przypadek: \(\displaystyle{ \frac{4^{n}+1}{2^{n}-1} \le \frac{4^{n}+1}{2^{n}+\cos\left( n!\right) } \le \frac{4^{n}+1}{2^{n}-1}}\), gdzie wszystkie 3 ciągi mają granicę w \(\displaystyle{ +\infty}\), nie dowodzi temu, że zawsze te twierdzenie działa w granicach niewłaściwych.

A kto ci powiedział że nie posiada granicy?

Kod: Zaznacz cały

https://imgur.com/a/AW4rW7V

[arek1357]

O czym innym mówisz , co inne pokazujesz a myślisz nie wiem już o czym...

[Jan Kraszewski]

Rozumiem, więc przypadek: \(\displaystyle{ \frac{4^{n}+1}{2^{n}-1} \le \frac{4^{n}+1}{2^{n}+\cos\left( n!\right) } \le \frac{4^{n}+1}{2^{n}-1}}\), gdzie wszystkie 3 ciągi mają granicę w \(\displaystyle{ +\infty}\), nie dowodzi temu, że zawsze te twierdzenie działa w granicach niewłaściwych.

Ależ dowodzi (poza tym, że w pierwszym ułamku w mianowniku powinno być \(\displaystyle{ 2^{n}\red{\,+\,}1}\)), ale ten trzeci ciąg jest zupełnie zbędny. Twierdzenie o dwóch ciągach mówi, że jeśli \(\displaystyle{ a_n\le b_n}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=+\infty}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}b_n=+\infty}\) (albo, symetrycznie, jeśli \(\displaystyle{ a_n\ge b_n}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=-\infty}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}b_n=-\infty}\)). Wystarczy zatem oszacowanie

\(\displaystyle{ \frac{4^{n}+1}{2^{n}\red{\,+\,}1} \le \frac{4^{n}+1}{2^{n}+\cos\left( n!\right) }.}\)

JK

[IceMajor2]

O czym innym mówisz , co inne pokazujesz a myślisz nie wiem już o czym...

Nie. Wszystko się zgadza. Wykres funkcji, który wysłałem jest wykresem funkcji \(\displaystyle{ f(n)=\frac{n^{3}}{n^{2}+1}\cos \left( 5n+3\right)}\). Pokazuje on, że brak tam granicy w \(\displaystyle{ +\infty.}\)

Dodano po 2 minutach 32 sekundach:

Rozumiem, więc przypadek: \(\displaystyle{ \frac{4^{n}+1}{2^{n}-1} \le \frac{4^{n}+1}{2^{n}+\cos\left( n!\right) } \le \frac{4^{n}+1}{2^{n}-1}}\), gdzie wszystkie 3 ciągi mają granicę w \(\displaystyle{ +\infty}\), nie dowodzi temu, że zawsze te twierdzenie działa w granicach niewłaściwych.

Ależ dowodzi (poza tym, że w pierwszym ułamku w mianowniku powinno być \(\displaystyle{ 2^{n}\red{\,+\,}1}\)), ale ten trzeci ciąg jest zupełnie zbędny. Twierdzenie o dwóch ciągach mówi, że jeśli \(\displaystyle{ a_n\le b_n}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=+\infty}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}b_n=+\infty}\) (albo, symetrycznie, jeśli \(\displaystyle{ a_n\ge b_n}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=-\infty}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}b_n=-\infty}\)). Wystarczy zatem oszacowanie

\(\displaystyle{ \frac{4^{n}+1}{2^{n}\red{\,+\,}1} \le \frac{4^{n}+1}{2^{n}+\cos\left( n!\right) }.}\)

JK

Dziękuję za odpowiedź. Teraz rozumiem.

[a4karo]

(...)
Dziękuję za odpowiedź.
\(\displaystyle{ - \frac{n^{3}}{n^{2}+1} \le \frac{n^{3}}{n^{2}+1}\cos \left( 5n+3\right) \le \frac{n^{3}}{n^{2}+1}}\).

Granica prawego ciągu = \(\displaystyle{ +\infty}\), granica lewego ciągu = \(\displaystyle{ -\infty}\).

To oznacza tylko tyle, że wziąłęś młotek zamiast śrubokręta. Twierdzenie nadal jest prawdziwe, ale jego założeniu nie są spełnione.

Dodano po 23 godzinach 34 minutach 44 sekundach:

O czym innym mówisz , co inne pokazujesz a myślisz nie wiem już o czym...

Nie. Wszystko się zgadza. Wykres funkcji, który wysłałem jest wykresem funkcji \(\displaystyle{ f(n)=\frac{n^{3}}{n^{2}+1}\cos \left( 5n+3\right)}\). Pokazuje on, że brak tam granicy w \(\displaystyle{ +\infty.}\)

No nie do końca. Funkcja `\sin2\pi x` nie ma granicy a ciąg `\sin 2\pi n` ma.