Oblicz granicę ciągu
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 28 lut 2017, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 14 razy
Oblicz granicę ciągu
Witam, dany jest ciąg:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to\infty} \left( \frac{n^{2}+2}{n^{2}+1}\right) ^{3n^{2}}}\) - cały ułamek do \(\displaystyle{ 3n^{2}}\) potęgi.
Kiedy w nawiasie wyłączymy \(\displaystyle{ n^{2}}\) to mamy wyrażenie dążące do \(\displaystyle{ 1}\). Po podniesieniu \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ \infty}\), bo do tego dąży \(\displaystyle{ 3n^{2}}\), to mamy \(\displaystyle{ 1^{\infty} = 1}\).
Dlaczego zatem, gdy zrobimy \(\displaystyle{ \left( \left( 1+ \frac{1}{n^{2}+1} \right)^{n^{2}+1}\right)^{ \frac{n^{2}+1}{3n^{2}} } }\) wychodzi wynik \(\displaystyle{ \sqrt[3]{e}}\).
Co jeszcze lepsze: poprawny wynik to \(\displaystyle{ e^{3}}\).
\(\displaystyle{ \lim_{n \to\infty} \left( \frac{n^{2}+2}{n^{2}+1}\right) ^{3n^{2}}}\) - cały ułamek do \(\displaystyle{ 3n^{2}}\) potęgi.
Kiedy w nawiasie wyłączymy \(\displaystyle{ n^{2}}\) to mamy wyrażenie dążące do \(\displaystyle{ 1}\). Po podniesieniu \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ \infty}\), bo do tego dąży \(\displaystyle{ 3n^{2}}\), to mamy \(\displaystyle{ 1^{\infty} = 1}\).
Dlaczego zatem, gdy zrobimy \(\displaystyle{ \left( \left( 1+ \frac{1}{n^{2}+1} \right)^{n^{2}+1}\right)^{ \frac{n^{2}+1}{3n^{2}} } }\) wychodzi wynik \(\displaystyle{ \sqrt[3]{e}}\).
Co jeszcze lepsze: poprawny wynik to \(\displaystyle{ e^{3}}\).
Ostatnio zmieniony 26 lis 2021, o 14:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości: \infty.
Powód: Poprawa wiadomości: \infty.
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 28 lut 2017, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 14 razy
Re: Oblicz granicę ciągu
A rzeczywiście - źle przekształciłem. Dzięki, a wyjaśnisz mi jeszcze 1-szą część?
Kiedy w nawiasie wyłączymy \(\displaystyle{ n^2}\) to mamy wyrażenie dążące do \(\displaystyle{ 1.}\) Po podniesieniu \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ \infty}\), bo do tego dąży \(\displaystyle{ 3n^2}\), to mamy \(\displaystyle{ 1^\infty=1}\).
Ostatnio zmieniony 24 lis 2021, o 11:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
-
- Administrator
- Posty: 34293
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 28 lut 2017, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 14 razy
Re: Oblicz granicę ciągu
1 podniesione do jakiejkolwiek potęgi daje 1.Jan Kraszewski pisze: ↑24 lis 2021, o 11:26 A skąd dziwny pomysł, że "\(\displaystyle{ 1^\infty=1}\)"?
JK
Ale chyba jednak widzę swój błąd, ponieważ tamto wyrażenie nigdy nie będzie równe 1... będzie po prostu bliskie 1, a kiedy podniesiemy cokolwiek lekko większego od 1 do \(\displaystyle{ \infty }\), to wynikiem będzie \(\displaystyle{ \infty }\).
-
- Administrator
- Posty: 34293
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Oblicz granicę ciągu
Ale tu nie ma żadnego podnoszenia do potęgi! Nieskończoność nie jest "bardzo dużą liczbą" i nie możesz wykonywać działań arytmetycznych z jej użyciem.
Zapis \(\displaystyle{ 1^\infty}\) to nie potęgowanie, tylko symbol nieoznaczony, opisujący graniczne zachowanie tego ciągu.
To też nieprawda.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 28 lut 2017, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 14 razy
Re: Oblicz granicę ciągu
Hm... Chyba możemy jednak pewne działania wykonywać, ponieważ \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{ \pm \infty} \right] }\) daje nam 0.Jan Kraszewski pisze: ↑24 lis 2021, o 11:37Ale tu nie ma żadnego podnoszenia do potęgi! Nieskończoność nie jest "bardzo dużą liczbą" i nie możesz wykonywać działań arytmetycznych z jej użyciem.
Zapis \(\displaystyle{ 1^\infty}\) to nie potęgowanie, tylko symbol nieoznaczony, opisujący graniczne zachowanie tego ciągu.
JK
Rzeczywiście zapomniałem o czymś. Stąd \(\displaystyle{ 1^{\infty}}\) rzeczywiście jest wyrażeniem nieoznaczonym, ale \(\displaystyle{ 1^{-}}\) do nieskończoności daje 0, ale (i to jest przypadek, który miałem na myśli) \(\displaystyle{ 1 ^{+}}\) do nieskończoności daje \(\displaystyle{ \infty}\). Czy teraz się zgadza?
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Oblicz granicę ciągu
Pewnie wiesz, że \(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\to e}\), więc widać, że `1^\infty` to nie musi być nieskończoność
-
- Administrator
- Posty: 34293
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Oblicz granicę ciągu
Nie można wykonywać. To co napisałeś to nie jest dzielenie, tylko twierdzenie, że ciąg będący ilorazem, w którym ciąg liczników dąży do \(\displaystyle{ 1}\), a ciąg mianowników do \(\displaystyle{ \pm\infty,}\) dąży do zera.
Nie mam pojęcia, o co Ci chodzi.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Oblicz granicę ciągu
Skąd wziąłeś takie mądrości? Nic z tego, co napisałeś, nie jest prawdąIceMajor2 pisze: ↑24 lis 2021, o 11:47
Rzeczywiście zapomniałem o czymś. Stąd \(\displaystyle{ 1^{\infty}}\) rzeczywiście jest wyrażeniem nieoznaczonym, ale \(\displaystyle{ 1^{-}}\) do nieskończoności daje 0, ale (i to jest przypadek, który miałem na myśli) \(\displaystyle{ 1 ^{+}}\) do nieskończoności daje \(\displaystyle{ \infty}\). Czy teraz się zgadza?
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 28 lut 2017, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 14 razy
Re: Oblicz granicę ciągu
a4karo pisze: ↑24 lis 2021, o 12:47Skąd wziąłeś takie mądrości? Nic z tego, co napisałeś, nie jest prawdąIceMajor2 pisze: ↑24 lis 2021, o 11:47
Rzeczywiście zapomniałem o czymś. Stąd \(\displaystyle{ 1^{\infty}}\) rzeczywiście jest wyrażeniem nieoznaczonym, ale \(\displaystyle{ 1^{-}}\) do nieskończoności daje 0, ale (i to jest przypadek, który miałem na myśli) \(\displaystyle{ 1 ^{+}}\) do nieskończoności daje \(\displaystyle{ \infty}\). Czy teraz się zgadza?
Chodziło mi o to, że ciąg zmierzający do 1 od lewej strony podniesiony do ciągu zmierzającego do nieskończoności, daje nam ciąg, którego granica zmierza do 0.Jan Kraszewski pisze: ↑24 lis 2021, o 12:22Nie można wykonywać. To co napisałeś to nie jest dzielenie, tylko twierdzenie, że ciąg będący ilorazem, w którym ciąg liczników dąży do \(\displaystyle{ 1}\), a ciąg mianowników do \(\displaystyle{ \pm\infty,}\) dąży do zera.
Nie mam pojęcia, o co Ci chodzi.
JK
Oraz ciąg zmierzający do 1 z prawej strony podniesiony do ciągu zmierzającego do nieskończoności, daje nam ciąg, którego granica zmierza do nieskończoności.
Dodano po 1 minucie 10 sekundach:
Masz rację... zapomniałem o tym, a pamiętam, że jakiś czas temu się właśnie nad tym zastanawiałem, dlaczego ten ciąg dąży do liczby Eulera, a nie inaczej... Nadal nie do końca to rozumiem.
-
- Administrator
- Posty: 34293
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Oblicz granicę ciągu
Co - jak napisał Ci a4karo - nie jest prawdą.IceMajor2 pisze: ↑26 lis 2021, o 12:29Chodziło mi o to, że ciąg zmierzający do 1 od lewej strony podniesiony do ciągu zmierzającego do nieskończoności, daje nam ciąg, którego granica zmierza do 0.
Oraz ciąg zmierzający do 1 z prawej strony podniesiony do ciągu zmierzającego do nieskończoności, daje nam ciąg, którego granica zmierza do nieskończoności.
JK