Oblicz granicę ciągu

[IceMajor2]

Witam, dany jest ciąg:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to\infty} \left( \frac{n^{2}+2}{n^{2}+1}\right) ^{3n^{2}}}\) - cały ułamek do \(\displaystyle{ 3n^{2}}\) potęgi.

Kiedy w nawiasie wyłączymy \(\displaystyle{ n^{2}}\) to mamy wyrażenie dążące do \(\displaystyle{ 1}\). Po podniesieniu \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ \infty}\), bo do tego dąży \(\displaystyle{ 3n^{2}}\), to mamy \(\displaystyle{ 1^{\infty} = 1}\).

Dlaczego zatem, gdy zrobimy \(\displaystyle{ \left( \left( 1+ \frac{1}{n^{2}+1} \right)^{n^{2}+1}\right)^{ \frac{n^{2}+1}{3n^{2}} } }\) wychodzi wynik \(\displaystyle{ \sqrt[3]{e}}\).

Co jeszcze lepsze: poprawny wynik to \(\displaystyle{ e^{3}}\).

[Guzzi]

Jak wymnożysz potęgi, to nie otrzymasz wyjściowego wykładnika.

[IceMajor2]

Jak wymnożysz potęgi, to nie otrzymasz wyjściowego wykładnika.

A rzeczywiście - źle przekształciłem. Dzięki, a wyjaśnisz mi jeszcze 1-szą część?

Kiedy w nawiasie wyłączymy \(\displaystyle{ n^2}\) to mamy wyrażenie dążące do \(\displaystyle{ 1.}\) Po podniesieniu \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ \infty}\), bo do tego dąży \(\displaystyle{ 3n^2}\), to mamy \(\displaystyle{ 1^\infty=1}\).

[Jan Kraszewski]

A skąd dziwny pomysł, że "\(\displaystyle{ 1^\infty=1}\)"?

JK

[IceMajor2]

A skąd dziwny pomysł, że "\(\displaystyle{ 1^\infty=1}\)"?

JK

1 podniesione do jakiejkolwiek potęgi daje 1.

Ale chyba jednak widzę swój błąd, ponieważ tamto wyrażenie nigdy nie będzie równe 1... będzie po prostu bliskie 1, a kiedy podniesiemy cokolwiek lekko większego od 1 do \(\displaystyle{ \infty }\), to wynikiem będzie \(\displaystyle{ \infty }\).

[Jan Kraszewski]

1 podniesione do jakiejkolwiek potęgi daje 1.

Ale tu nie ma żadnego podnoszenia do potęgi! Nieskończoność nie jest "bardzo dużą liczbą" i nie możesz wykonywać działań arytmetycznych z jej użyciem.

Zapis \(\displaystyle{ 1^\infty}\) to nie potęgowanie, tylko symbol nieoznaczony, opisujący graniczne zachowanie tego ciągu.

Ale chyba jednak widzę swój błąd, ponieważ tamto wyrażenie nigdy nie będzie równe 1... będzie po prostu bliskie 1, a kiedy podniesiemy cokolwiek lekko większego od 1 do \(\displaystyle{ \infty }\), to wynikiem będzie \(\displaystyle{ \infty }\).

To też nieprawda.

JK

[IceMajor2]

1 podniesione do jakiejkolwiek potęgi daje 1.

Ale tu nie ma żadnego podnoszenia do potęgi! Nieskończoność nie jest "bardzo dużą liczbą" i nie możesz wykonywać działań arytmetycznych z jej użyciem.

Zapis \(\displaystyle{ 1^\infty}\) to nie potęgowanie, tylko symbol nieoznaczony, opisujący graniczne zachowanie tego ciągu.

JK

Hm... Chyba możemy jednak pewne działania wykonywać, ponieważ \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{ \pm \infty} \right] }\) daje nam 0.

Rzeczywiście zapomniałem o czymś. Stąd \(\displaystyle{ 1^{\infty}}\) rzeczywiście jest wyrażeniem nieoznaczonym, ale \(\displaystyle{ 1^{-}}\) do nieskończoności daje 0, ale (i to jest przypadek, który miałem na myśli) \(\displaystyle{ 1 ^{+}}\) do nieskończoności daje \(\displaystyle{ \infty}\). Czy teraz się zgadza?

[a4karo]

Pewnie wiesz, że \(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\to e}\), więc widać, że `1^\infty` to nie musi być nieskończoność

[Jan Kraszewski]

Hm... Chyba możemy jednak pewne działania wykonywać, ponieważ \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{ \pm \infty} \right] }\) daje nam 0.

Nie można wykonywać. To co napisałeś to nie jest dzielenie, tylko twierdzenie, że ciąg będący ilorazem, w którym ciąg liczników dąży do \(\displaystyle{ 1}\), a ciąg mianowników do \(\displaystyle{ \pm\infty,}\) dąży do zera.

ale \(\displaystyle{ 1^{-}}\) do nieskończoności daje 0, ale (i to jest przypadek, który miałem na myśli) \(\displaystyle{ 1 ^{+}}\) do nieskończoności daje \(\displaystyle{ \infty}\). Czy teraz się zgadza?

Nie mam pojęcia, o co Ci chodzi.

JK

[a4karo]

Rzeczywiście zapomniałem o czymś. Stąd \(\displaystyle{ 1^{\infty}}\) rzeczywiście jest wyrażeniem nieoznaczonym, ale \(\displaystyle{ 1^{-}}\) do nieskończoności daje 0, ale (i to jest przypadek, który miałem na myśli) \(\displaystyle{ 1 ^{+}}\) do nieskończoności daje \(\displaystyle{ \infty}\). Czy teraz się zgadza?

Skąd wziąłeś takie mądrości? Nic z tego, co napisałeś, nie jest prawdą

[IceMajor2]

Rzeczywiście zapomniałem o czymś. Stąd \(\displaystyle{ 1^{\infty}}\) rzeczywiście jest wyrażeniem nieoznaczonym, ale \(\displaystyle{ 1^{-}}\) do nieskończoności daje 0, ale (i to jest przypadek, który miałem na myśli) \(\displaystyle{ 1 ^{+}}\) do nieskończoności daje \(\displaystyle{ \infty}\). Czy teraz się zgadza?

Skąd wziąłeś takie mądrości? Nic z tego, co napisałeś, nie jest prawdą

Hm... Chyba możemy jednak pewne działania wykonywać, ponieważ \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{ \pm \infty} \right] }\) daje nam 0.

Nie można wykonywać. To co napisałeś to nie jest dzielenie, tylko twierdzenie, że ciąg będący ilorazem, w którym ciąg liczników dąży do \(\displaystyle{ 1}\), a ciąg mianowników do \(\displaystyle{ \pm\infty,}\) dąży do zera.

ale \(\displaystyle{ 1^{-}}\) do nieskończoności daje 0, ale (i to jest przypadek, który miałem na myśli) \(\displaystyle{ 1 ^{+}}\) do nieskończoności daje \(\displaystyle{ \infty}\). Czy teraz się zgadza?

Nie mam pojęcia, o co Ci chodzi.

JK

Chodziło mi o to, że ciąg zmierzający do 1 od lewej strony podniesiony do ciągu zmierzającego do nieskończoności, daje nam ciąg, którego granica zmierza do 0.
Oraz ciąg zmierzający do 1 z prawej strony podniesiony do ciągu zmierzającego do nieskończoności, daje nam ciąg, którego granica zmierza do nieskończoności.

Dodano po 1 minucie 10 sekundach:

Pewnie wiesz, że \(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\to e}\), więc widać, że `1^\infty` to nie musi być nieskończoność

Masz rację... zapomniałem o tym, a pamiętam, że jakiś czas temu się właśnie nad tym zastanawiałem, dlaczego ten ciąg dąży do liczby Eulera, a nie inaczej... Nadal nie do końca to rozumiem.

[Jan Kraszewski]

Chodziło mi o to, że ciąg zmierzający do 1 od lewej strony podniesiony do ciągu zmierzającego do nieskończoności, daje nam ciąg, którego granica zmierza do 0.
Oraz ciąg zmierzający do 1 z prawej strony podniesiony do ciągu zmierzającego do nieskończoności, daje nam ciąg, którego granica zmierza do nieskończoności.

Co - jak napisał Ci a4karo - nie jest prawdą.

JK

[arek1357]

Zamiast całego tego pasztetu, który trudno skonsumować podstaw po prostu:

\(\displaystyle{ n^2+1=k}\)