Oblicz granicę ciągu

[IceMajor2]

Witam, nie mogę obliczyć granicy tego ciągu:

\(\displaystyle{ a_{n} = ( \frac{1}{ n^{2}} + \frac{2}{ n^{2}} + ... + \frac{n-1}{ n^{2}}) }\)

Różnica wynosi = \(\displaystyle{ \frac{1}{ n^{2}}}\), a więc nie jest to ani ciąg geometryczny (gdzie różnica powinna być uzależniona liniowo), ani ciąg arytmetyczny (różnica = \(\displaystyle{ const}\)).

[kerajs]

\(\displaystyle{ a_{n} = ( \frac{1}{ n^{2}} + \frac{2}{ n^{2}} + ... + \frac{n-1}{ n^{2}}) = \frac{ \frac{(n-1+1)(n-1)}{2} }{n^2} = \frac{n-1}{2n} }\)

[IceMajor2]

\(\displaystyle{ a_{n} = ( \frac{1}{ n^{2}} + \frac{2}{ n^{2}} + ... + \frac{n-1}{ n^{2}}) = \frac{ \frac{(n-1+1)(n-1)}{2} }{n^2} = \frac{n-1}{2n} }\)

Dziękuję za odpowiedź, jednak nie rozumiem - co stało się w liczniku?

[Jan Kraszewski]

W liczniku masz sumę najbardziej podstawowego ciągu arytmetycznego.

\(\displaystyle{ \frac{1}{ n^{2}} + \frac{2}{ n^{2}} + ... + \frac{n-1}{ n^{2}} = \frac{ 1+2+...+(n-1) }{n^2} }\)

JK

[IceMajor2]

W liczniku masz sumę najbardziej podstawowego ciągu arytmetycznego.

\(\displaystyle{ \frac{1}{ n^{2}} + \frac{2}{ n^{2}} + ... + \frac{n-1}{ n^{2}} = \frac{ 1+2+...+(n-1) }{n^2} }\)

JK

Eh... oczywiście, że tak, dziękuję.

[Janusz Tracz]

Inny sposób to zauważyć w tym sumę całkową Riemanna

\(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{n}\to \int_{0}^{1}x\, \dd x =1/2. }\)