Witam, nie mogę obliczyć granicy tego ciągu:
\(\displaystyle{ a_{n} = ( \frac{1}{ n^{2}} + \frac{2}{ n^{2}} + ... + \frac{n-1}{ n^{2}}) }\)
Różnica wynosi = \(\displaystyle{ \frac{1}{ n^{2}}}\), a więc nie jest to ani ciąg geometryczny (gdzie różnica powinna być uzależniona liniowo), ani ciąg arytmetyczny (różnica = \(\displaystyle{ const}\)).
Oblicz granicę ciągu
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Re: Oblicz granicę ciągu
\(\displaystyle{ a_{n} = ( \frac{1}{ n^{2}} + \frac{2}{ n^{2}} + ... + \frac{n-1}{ n^{2}}) = \frac{ \frac{(n-1+1)(n-1)}{2} }{n^2} = \frac{n-1}{2n} }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 28 lut 2017, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 14 razy
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Oblicz granicę ciągu
W liczniku masz sumę najbardziej podstawowego ciągu arytmetycznego.
\(\displaystyle{ \frac{1}{ n^{2}} + \frac{2}{ n^{2}} + ... + \frac{n-1}{ n^{2}} = \frac{ 1+2+...+(n-1) }{n^2} }\)
JK
\(\displaystyle{ \frac{1}{ n^{2}} + \frac{2}{ n^{2}} + ... + \frac{n-1}{ n^{2}} = \frac{ 1+2+...+(n-1) }{n^2} }\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 28 lut 2017, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 14 razy
Re: Oblicz granicę ciągu
Eh... oczywiście, że tak, dziękuję.Jan Kraszewski pisze: ↑23 lis 2021, o 14:08 W liczniku masz sumę najbardziej podstawowego ciągu arytmetycznego.
\(\displaystyle{ \frac{1}{ n^{2}} + \frac{2}{ n^{2}} + ... + \frac{n-1}{ n^{2}} = \frac{ 1+2+...+(n-1) }{n^2} }\)
JK
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Oblicz granicę ciągu
Inny sposób to zauważyć w tym sumę całkową Riemanna
\(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{n}\to \int_{0}^{1}x\, \dd x =1/2. }\)