Oblicz granicę ciągu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
IceMajor2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 28 lut 2017, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 14 razy

Oblicz granicę ciągu

Post autor: IceMajor2 »

Cześć, mam problem z pewnym przykładem. Czy mógłby mnie ktoś nakierować?
Oblicz granicę takiego ciągu:

\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{ \sqrt{n+1} - 1}{\sqrt[3]{n-1} + 9} }\)
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Oblicz granicę ciągu

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ \sqrt{n+1} - 1}{\sqrt[3]{n-1} + 9} =\left[ \frac{ \infty }{ \infty } \right] =\lim_{ n\to \infty } \frac{n}{(\sqrt[3]{n-1} + 9)( \sqrt{n+1} + 1)}=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{ n\to \infty } \frac{n}{ \sqrt[6]{n^5} (\sqrt[3]{1- \frac{1}{n} } + \frac{9}{ \sqrt[3]{n} } )( \sqrt{1+ \frac{1}{n} } + \frac{1}{ \sqrt{n} } )}=
=\lim_{ n\to \infty } \frac{\sqrt[6]{n}}{ (\sqrt[3]{1- \frac{1}{n} } + \frac{9}{ \sqrt[3]{n} } )( \sqrt{1+ \frac{1}{n} } + \frac{1}{ \sqrt{n} } )}= \infty }\)
IceMajor2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 28 lut 2017, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 14 razy

Re: Oblicz granicę ciągu

Post autor: IceMajor2 »

kerajs pisze: 23 lis 2021, o 11:29 \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ \sqrt{n+1} - 1}{\sqrt[3]{n-1} + 9} =\left[ \frac{ \infty }{ \infty } \right] =\lim_{ n\to \infty } \frac{n}{(\sqrt[3]{n-1} + 9)( \sqrt{n+1} + 1)}=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{ n\to \infty } \frac{n}{ \sqrt[6]{n^5} (\sqrt[3]{1- \frac{1}{n} } + \frac{9}{ \sqrt[3]{n} } )( \sqrt{1+ \frac{1}{n} } + \frac{1}{ \sqrt{n} } )}=
=\lim_{ n\to \infty } \frac{\sqrt[6]{n}}{ (\sqrt[3]{1- \frac{1}{n} } + \frac{9}{ \sqrt[3]{n} } )( \sqrt{1+ \frac{1}{n} } + \frac{1}{ \sqrt{n} } )}= \infty }\)
Dziękuję, rozumiem.
ODPOWIEDZ