Granica ciągu

[Jordsklav]

Witam, ostatnio otrzymaliśmy do rozwiązania następujące zadanie o treści: "Oblicz granicę ciągu korzystając z twierdzenia o trzech ciągach". Ciąg wygląda następująco:

\(\displaystyle{ b_{n} = \sqrt[n]{ \frac{1}{2}+ \frac{2}{3} + ... + \frac{n}{n+1} }}\)

Próbowałem na różne sposoby, udało mi się m.in. dojść do czegoś takiego (podobne rozwiązanie prezentował gdzieś tam Matemaks)

\(\displaystyle{ a_{n} = \sqrt[n]{ \frac{1}{n+1} + \frac{2}{n+1} + ... + \frac{n}{n+1}} = \sqrt[n]{\frac{1+2+...+n}{n+1}} = \sqrt[n]{ \frac{ \frac{(n+1)n}{2} }{n+1} } =
\sqrt[n]{ \frac{(n+1)n}{2} \cdot \frac{1}{n+1} } = \sqrt[n]{ \frac{n}{2} } \ge b_{n}
}\)

Z czego \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{ \frac{n}{2} } = 1}\)

Pytanie, jak obliczyć granicę dla ciągu z drugiej strony (aby zastosować twierdzenie o trzech ciągach oraz czy wyżej przedstawione rozumowanie ma jakiekolwiek prawo bytu?

Z góry dziękuję za odpowiedź

[janusz47]

Z prawej strony \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n\cdot \frac{n}{n+1}} }\)

Z lewej strony \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n\cdot \frac{1}{2}} }\)

[Jordsklav]

Z prawej strony \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n\cdot \frac{n}{n+1}} }\)

A da się to jakoś wyliczyć? Próbowałem to sprowadzić do wspólnego mianownika, ale wtedy powstaje równanie z silnią.

[a4karo]

A może wystarczy oszacować każdy składnik z góry przez jedynkę?

A z dołu całe wyrażenie przez jedynkę (za wyjątkiem pierwszego wyrazu)?

[janusz47]

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{n^2}{n+1}} = \sqrt[n]{n - \frac{n}{n+1}} }\)

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{n-1} \le \sqrt[n]{n - \frac{n}{n+1}} \le\sqrt[n]{n} }\)