Oblicz granicę ciągu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
IceMajor2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 28 lut 2017, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 14 razy

Oblicz granicę ciągu

Post autor: IceMajor2 »

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } 5^{n} - 4^{n} - 3^{n} - 2^{n}}\)

Ja jestem jakiś ułomny i nie mogę tego rozwiązać, ani normalnie, ani z twierdzenia 3-ech ciągów. Czy ktoś mógłby pomóc? Z góry dziękuję.
Awatar użytkownika
kmarciniak1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 14 lis 2014, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 183 razy

Re: Oblicz granicę ciągu

Post autor: kmarciniak1 »

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } 5^{n}(1 - \frac{4^{n}}{ 5^{n}} - \frac{3^{n} }{5^{n}} - \frac{2^{n}}{5^{n}} )}\)
IceMajor2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 28 lut 2017, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 14 razy

Re: Oblicz granicę ciągu

Post autor: IceMajor2 »

O mój Boże... Jest mi wstyd, a pytanie: czy mógłbyś mi pokazać jak to zrobić z twierdzenia 3-ech ciągów?

Dziękuję.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Oblicz granicę ciągu

Post autor: Jan Kraszewski »

IceMajor2 pisze: 22 paź 2021, o 10:44 czy mógłbyś mi pokazać jak to zrobić z twierdzenia 3-ech ciągów?
Z tw. o trzech ciągach się nie da, bo ten ciąg jest rozbieżny. Jak już, to tw. o dwóch ciągach.

JK
IceMajor2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 28 lut 2017, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 14 razy

Re: Oblicz granicę ciągu

Post autor: IceMajor2 »

Jan Kraszewski pisze: 22 paź 2021, o 12:07 Z tw. o trzech ciągach się nie da, bo ten ciąg jest rozbieżny. Jak już, to tw. o dwóch ciągach.

JK
Dziękuję bardzo za odpowiedź.

Definicje są różne. Niektóre podręczniki mówią, że ciąg jest zbieżny, gdy posiada granicę właściwą lub granicę niewłaściwą, inne mówią, że jest zbieżny, gdy posiada granicę właściwą.

Jaka jest definicja ciągu rozbieżnego? Jedyne co wyczytałem, to że niektórzy uznają ciągi rozbieżne za ciągi zbieżne do granicy niewłaściwej. W takim razie ciąg \(\displaystyle{ a _{n} = (-1) ^{n}}\) jest ciągiem rozbieżnym czy zbieżnym i dlaczego?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Oblicz granicę ciągu

Post autor: Jan Kraszewski »

IceMajor2 pisze: 23 paź 2021, o 13:17Jaka jest definicja ciągu rozbieżnego? Jedyne co wyczytałem, to że niektórzy uznają ciągi rozbieżne za ciągi zbieżne do granicy niewłaściwej.
To kwestia nazewnictwa (czyli umowy), a nie matematyki. Ciąg rozbieżny to taki, który nie jest zbieżny. Natomiast zbieżność możesz interpretować jako zbieżność do granicy właściwej albo jako zbieżność do granicy właściwej lub niewłaściwej (czyli do nieskończoności). Jedyna różnica jest taka, że albo mówisz o ciągach rozbieżnych do nieskończoności, albo zbieżnych do nieskończoności.

Niezależnie jednak od tego, jakiej konwencji użyjesz, w przypadku ciągu (ro)zbieżnego do nieskończoności nie da się zastosować tw. o trzech ciągach, bo tw. to dotyczy ciągów zbieżnych do granicy właściwej. Natomiast do ciągów (ro)zbieżnych do nieskończoności stosuje się tw. o dwóch ciągach.
IceMajor2 pisze: 23 paź 2021, o 13:17W takim razie ciąg \(\displaystyle{ a _{n} = (-1) ^{n}}\) jest ciągiem rozbieżnym czy zbieżnym i dlaczego?
Ten ciąg jest rozbieżny niezależnie od przyjętej definicji zbieżności - ma dwa podciągi zbieżne do różnych granic.

JK
IceMajor2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 28 lut 2017, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 14 razy

Re: Oblicz granicę ciągu

Post autor: IceMajor2 »

Zrozumiano, dziękuję!
ODPOWIEDZ