Hej, mam problem z takim oto zadaniem:
Oblicz granicę ciągu jeżeli: \(\displaystyle{ a_{n+1}= \frac{a_n}{a_{n}+1} \wedge a_{1}=2}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }a_{n}=g }\) to wtedy: \(\displaystyle{ g= \frac{g}{g+1} }\) \(\displaystyle{ g^2+g-g=0}\) \(\displaystyle{ g=0}\)
Należy udowodnić, że ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) ma granice.
Tw: Jeżeli ciąg jest monotoniczny i ograniczony to ma granice. \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_{n}= \frac{a_{n}}{a_{n}+1}-a_{n}= \frac{-a_{n}^2}{a_{n}+1} }\)
Wiem, że należy to teraz udowodnić z indukcji natomiast nie potrafię tego zrobić
Madzzia pisze: ↑21 paź 2021, o 19:32
Nie rozumiem, dlaczego wyrazy tego ciągu są dodatnie?
Bo zaczynasz od \(\displaystyle{ a_1}\) dodatniego, a potem tylko coś tam dzielisz i coś tam dodajesz i żadne z tych działań nie można dać Ci wartości ujemnej.
Okej teraz już widzę.
Czyli dobrze rozumuje, że:
Skoro \(\displaystyle{ a_{n}>0}\) to \(\displaystyle{ \frac{-a_{n}^2}{a_{n}+1}<0 }\) ponieważ \(\displaystyle{ -a_{n}^2<0 \wedge a_{n}+1>0}\)
Czyli ten ciąg jest monotoniczny (malejący)
Jak teraz wykazać, że jest ograniczony ?
Madzzia pisze: ↑21 paź 2021, o 19:58
Czyli dobrze rozumuje, że:
Skoro \(\displaystyle{ a_{n}>0}\) to \(\displaystyle{ \frac{-a_{n}^2}{a_{n}+1}<0 }\) ponieważ \(\displaystyle{ -a_{n}^2<0 \wedge a_{n}+1>0}\)
Tak.
Madzzia pisze: ↑21 paź 2021, o 19:58
Jak teraz wykazać, że jest ograniczony ?
Wszystkie wyrazy są dodatnie i ciąg jest malejący. Zastanów się chwilę dlaczego jest ograniczony.
Rozumiem dlaczego jest ograniczony. Skoro jest malejący a wszystkie jego wyrazy są dodatnie to musi istnieć ograniczenie z góry (musi maleć od pewnej wartości) i musi mieć ograniczenie z dołu ponieważ maleje ale nigdy jego wyrazy nie zaczynają być ujemne. Natomiast jak to udowodnić formalnie na papierze ?
Dostałam fotkę z rozwiązanego tego zadania z ćwiczeń i jest tam taki fragment: \(\displaystyle{ 1) }\)\(\displaystyle{ a_{1}=2 \ge 0}\) (prawda) \(\displaystyle{ 2)}\) Załóżmy, że: \(\displaystyle{ a_{n} \ge 0}\) \(\displaystyle{ 3)}\) Teza: \(\displaystyle{ \frac{a_{n}}{a_{n}+1} \ge 0}\) Teza jest prawdziwa ponieważ: \(\displaystyle{ a_{n} \ge 0 }\)
I próbuję zrozumieć czego dotyczy ten dowód, co on ma pokazać i dlaczego został przeprowadzony w tym właśnie zadaniu....
To jest tak niechlujny dowód indukcyjny, że aż niepoprawny. Dowodzi się tu tego, że dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) wyrazy ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) są dodatnie.
Janusz Tracz pisze: ↑21 paź 2021, o 22:10
To jest tak niechlujny dowód indukcyjny, że aż niepoprawny.
Jest nie tyle niepoprawny, co po prostu go nie ma (uzasadnienie "teza jest prawdziwa, bo wynika z założenia" nie jest uzasadnieniem, tylko wyrazem woli...).
Madzzia pisze: ↑21 paź 2021, o 22:14
Poprawny byłby gdyby w tezie zamiast \(\displaystyle{ n}\) było \(\displaystyle{ n+1}\)?
Madzzia pisze: ↑21 paź 2021, o 22:35Próbuję właśnie zrozumieć co miał na myśli prowadzący pisząc tezę : \(\displaystyle{ \frac{a_n}{a_n+1} \ge 0 }\) skąd ta teza się wzięła ? ehhh
A wiesz, na czym polega dowód indukcyjny?
Madzzia pisze: ↑21 paź 2021, o 22:35
To jak powinien wyglądać dowód indukcyjny, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) mamy \(\displaystyle{ a_{n}>0}\)?
Krok indukcyjny.
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ n\in\NN}\) takie, że \(\displaystyle{ a_n>0}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ a_{n+1}>0}\).
Skoro \(\displaystyle{ a_n>0}\), to \(\displaystyle{ a_n+1>1>0}\). Wobec tego liczba \(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+1}}\) jest dodatnia jako iloraz liczb dodatnich.
Na mocy zasady indukcji matematycznej mamy, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) liczba \(\displaystyle{ a_n}\) jest dodatnia.
