Twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym

[mikesz1738]

Witam,

Na podstawie twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym uzasadnić istnienie granicy właściwej dla ciągu:

\(\displaystyle{ c_{1} = 1 }\)

\(\displaystyle{ c_{n+1}= \frac{1}{1+ c_{n} } }\)

Na podstawie kilku początkowych wyrazów i sposobu definicji ciągu doszedłem do wniosku, wsystkie jego wyrazy są dodanie \(\displaystyle{ c_{n}>0 }\)

Na tej podstawie stwierdzam, że \(\displaystyle{ \frac{1}{1+ c_{n} } < 1 }\) i uwzględniając pierwszy wyraz otrzymuję \(\displaystyle{ c_{n} \le 1}\)

Ciąg jest więc ograniczony.

Mam natomiast problem z określeniem monotoniczności. Na podstawie kilku wyrazów o wskaźnikach większych od \(\displaystyle{ 5}\) wygląda, że ciąg "raz rośnie, raz maleje".

W celu sprawdzenia, jeśli przyjmę że dla pewnego \(\displaystyle{ k \in N}\) jest \(\displaystyle{ c_{k+1} > c_{k} }\) to wówczas \(\displaystyle{ 1+c_{k+1} > 1+c_{k}}\) a następnie \(\displaystyle{ 1> \frac{1+c_{k}}{1+c_{k+1}} }\) co jest równoważne \(\displaystyle{ \frac{1}{1+c_{k}} > \frac{1}{1+c_{k+1}} }\) co oznaczłoby, że \(\displaystyle{ c_{k+1}> c_{k+2} }\)

Zakładam, że zmiana znaku nierówności w początkowym założeniu doprowadzi do analogicznych wniosków.

Jeśli się nie mylę to monotoniczność nie jest warunkiem koniecznym zbieżności ciągu ale twierdzenie które należy tutaj wykorzystać wymaga już monotoniczności przynajmniej od pewnego momentu.

Pozdrawiam,

Michał

[a4karo]

Spróbuj pokazać że podciąg o wyrazach parzystych jest monotoniczny i podciąg o wyrazach nieparzystych też, a zatem są zbieżne, a potem pokaż, że obie granice są równe