Granica

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
kt26420
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 21 sty 2021, o 16:29
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 40 razy

Granica

Post autor: kt26420 »

Proszę o pomocy, jak znaleść taką granicę \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n} \sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1}\)
Probowałam oszacować przez HM-GM i GM-AM, ale nic mi z tego nie wyszło.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Granica

Post autor: Premislav »

Ze wzoru Taylora wynika oszacowanie
\(\displaystyle{ \sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}}\) dla małych iksów, dokładniej \(\displaystyle{ \sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}+o\left(x\right)}\).
Stosując tu tę aproksymację, otrzymamy
\(\displaystyle{ \sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1\approx \frac{k}{2n^2}}\), natomiast
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2n^2}=\frac{1}{4}}\), bo
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}}\).

Bardziej formalnie, można udowodnić nierówności w dodatnich
\(\displaystyle{ 1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}\le \sqrt{1+x}\le 1+\frac{x}{2}}\)
i zastosować takie nierówności dla \(\displaystyle{ x:=\frac{k}{n^2}, \ k=1,2\ldots n}\), a następnie wykorzystać twierdzenie o trzech ciągach. Udowodnienie tych nierówności zostawiam zaś jako ćwiczenie dla Ciebie, w razie problemów pisz.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Granica

Post autor: a4karo »

Można też zauważyć, że
\(\displaystyle{ \sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1=\frac{\frac{k}{n^2}}{\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}+1}}\) oraz
\(\displaystyle{ 2<\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}+1\leq \sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\)
kt26420
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 21 sty 2021, o 16:29
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 40 razy

Re: Granica

Post autor: kt26420 »

Premislav pisze: 20 cze 2021, o 13:48 Ze wzoru Taylora wynika oszacowanie
\(\displaystyle{ \sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}}\) dla małych iksów, dokładniej \(\displaystyle{ \sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}+o\left(x\right)}\).
Stosując tu tę aproksymację, otrzymamy
\(\displaystyle{ \sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1\approx \frac{k}{2n^2}}\), natomiast
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2n^2}=\frac{1}{4}}\), bo
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}}\).

Bardziej formalnie, można udowodnić nierówności w dodatnich
\(\displaystyle{ 1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}\le \sqrt{1+x}\le 1+\frac{x}{2}}\)
i zastosować takie nierówności dla \(\displaystyle{ x:=\frac{k}{n^2}, \ k=1,2\ldots n}\), a następnie wykorzystać twierdzenie o trzech ciągach. Udowodnienie tych nierówności zostawiam zaś jako ćwiczenie dla Ciebie, w razie problemów pisz.

Dzięki !!! :)

Dodano po 24 sekundach:
a4karo pisze: 20 cze 2021, o 15:49 Można też zauważyć, że
\(\displaystyle{ \sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1=\frac{\frac{k}{n^2}}{\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}+1}}\) oraz
\(\displaystyle{ 2<\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}+1\leq \sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\)
Dziękuję :wink:
ODPOWIEDZ