Granica ciągu a całka

[Iza8723]

Wiadomo, że \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} x ^{10} dx= \frac{1}{11} }\). Niech \(\displaystyle{ g= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{n ^{11} }(1^{11}+2^{11}+...+n^{11}) }\) . Prawdziwa jest relacja:
a) \(\displaystyle{ g<\frac{1}{11}}\)
b)\(\displaystyle{ g=\frac{1}{11}}\)
c) \(\displaystyle{ g>\frac{1}{11}}\)
d) \(\displaystyle{ g=(\frac{1}{11})^2}\)
Nie jestem pewna, ale wydaje mi się, że poprawną odpowiedzią będzie c), bo granica g będzie wynosiła 1, dobrze myślę?

[Tmkk]

Jeśli pod limesem miało być \(\displaystyle{ n \to \infty}\), zamiast \(\displaystyle{ x \to \infty}\), to nie, ta granica to \(\displaystyle{ +\infty}\).

[Iza8723]

Tak miało być \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\). W takim razie, jak sprawdzić, lub wywnioskować, która odpowiedź jest prawidłowa, bo nie mam pomysłu ?

[Tmkk]

Wygodnie jest użyć twierdzenia Soltza albo zauważyć sumę Riemanna, bo

\(\displaystyle{ \frac{1}{n^{11}}\left(1^{11} + 2^{11} + \ldots + n^{11}\right) = n \cdot \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)}\),

gdzie \(\displaystyle{ f(x) = x^{11}}\). Teraz, do czego dążą oba kawałki tego iloczynu? Przy okazji, gdyby w mianowniku tej granicy było \(\displaystyle{ n^{12}}\) zamiast \(\displaystyle{ n^{11}}\), byłoby troszkę ciekawiej.

[Iza8723]

Czyli dąży to do \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}x^{11} dx}\) ?

[Tmkk]

Drugi kawałek, tak. Ale przez to \(\displaystyle{ n}\) z przodu, wynikiem będzie \(\displaystyle{ +\infty}\).

[Iza8723]

Faktycznie, dzięki

[a4karo]

Ta całka tylko myli. Wyrażenie którego granice liczymy jest większe od jedynki (popatrz na ostatni wyraz), więc poprawną może być tylko odpowiedź c